Exercício de Revisão de Aplicações de EDO

1. Considere que a compra de um determinado produto seja influenciada por um estímulo

externo (preço, propaganda, etc.) e pela tendência dos potenciais consumidores em imitar

aqueles que já compraram o produto. Indicando por q(t) > 0 a medida do estímulo

externo, e por b > 0 o coeficiente de imitação, a proporção y(t) de pessoas que já

compraram o produto, com 0 ≤y(t)≤1, pode ser modelada pelo PVI y’(t) = [1 – y(t)][q(t) +

by(t)], com y(0)=0.

a) A EDO admite solução de equilíbrio? Quais?

b) Como é o campo de direções associados à EDO na hipótese de o estímulo externo ser

constante?

c) A mudança y(t) = 1 + x(t)-1 transforma a EDO original em uma EDO linear?

d) Qual a solução da EDO na hipótese de o estímulo externo ser constante?

e) Qual a solução da EDO na hipótese de o estímulo externo ser senoidal?

2. Considere o caso em que uma função y(x) tem a propriedade de que suas retas normais

passam todas pelo ponto (2,0).

a) Qual EDO satisfeita pela função y(x)?

b) A EDO admite solução de equilíbrio? Quais?

c) Como é o campo de direções associados à EDO?

d) Qual a família de curvas que tem a propriedade mencionada?

3. Segundo a lei de resfriamento de Newton, a taxa de variação da temperatura de um

objeto é proporcional à diferença entre a sua temperatura e à ambiente.

a) Qual EDO é satisfeita pela temperatura do objeto?

b) A EDO admite solução de equilíbrio? Quais?

c) Como é o campo de direções dessa EDO na hipótese de o ambiente estar uma

temperatura constante?

d) Qual a solução da EDO na hipótese de o ambiente estar a uma temperatura

constante?

e) O que ocorre com a temperatura do objeto quando se passa um longo período?

f) Qual a solução da EDO na hipótese de a temperatura ambiente ter variação senoidal?

4. Considere que, na reação química balanceada A + 3B → C, a taxa de formação do

composto C seja proporcional ao produto das quantidades remanescentes dos reagentes

A e B. e que sejam misturados inicialmente 50 mols de A e 33 mols de B.

a) Qual a EDO satisfeita pela função Q(t) que indica a quantidade do composto C

presente na mistura?

b) A EDO admite solução de equilíbrio? Quais?

c) Como é o campo de direções dessa EDO?