OS NÚMEROS REAIS
Por: Bárbara Zenti • 3/2/2018 • Trabalho acadêmico • 7.671 Palavras (31 Páginas) • 372 Visualizações
NÚMEROS REAIS
Os Números Racionais ()[pic 1]
Os números racionais são aqueles que podem ser representados por uma razão entre dois números inteiros, que pode ser escrito na forma
[pic 2]
Onde indica o conjunto dos números inteiros:[pic 3]
[pic 4]
Indicamos ainda, por o conjunto dos números naturais:[pic 5]
[pic 6]
Operações com números racionais
Adição e Multiplicação
Se são dois números racionais, a soma e o produto destes números são obtidos da seguinte forma: [pic 7]
[pic 8]
[pic 9]
Os Números Reais ()[pic 10]
O conjunto é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.[pic 12][pic 11]
Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar em um número real como número decimal possivelmente infinito, como 3,141592...
Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.
[pic 13]
Propriedades
- A soma ou a diferença de dois números reais quaisquer é um número real.
- O produto de dois números reais quaisquer é um número real.
- O quociente entre dois números reais quaisquer, com o divisor diferente de zero, é um número real.
- Para todo número real , existe o real , denominado “oposto de ”, tal que . Indicamos o oposto de por .[pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19]
- Para todo número real não nulo , existe o real , denominado inverso ou recíproco de , tal que . Indicamos o inverso de por .[pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]
- Se é natural ímpar e , então .[pic 26][pic 27][pic 28]
- Se é natural par diferente de zero e , tem-se que .[pic 29][pic 30][pic 31]
Desigualdades
Quaisquer que sejam os números reais tem-se:[pic 32]
- [pic 33]
- [pic 34]
- [pic 35]
- Se [pic 36]
- Se [pic 37]
- Se [pic 38]
- Se [pic 39]
- Uma e somente uma das condições a seguir se verifica: [pic 40]
- [pic 41]
Exemplos:
- Em uma escola de inglês, é cobrada uma mensalidade de R$ 240,00 e uma taxa de inscrição de R$ 100,00. Qual é a quantidade máxima de meses que um aluno que tem R$ 2000,00 poderá frequentá-la?
- Uma empresa fabrica sapatos com um custo fixo mensal de R$ 3500,00. Cada sapato custa R$ 25,00 para ser produzido. Sabendo que esses sapatos serão vendidos por R$ 55,00, qual a quantidade mínima de sapatos que deve ser produzida para que a quantia arrecadada supere o custo de produção?
- Resolva a inequação .[pic 42]
- Estude o sinal da expressão .[pic 43]
- Estude o sinal de .[pic 44]
- Resolva a inequação .[pic 45]
- Resolva a inequação .
[pic 46]
Lista de Exercícios 1
- Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, têm fabricado, respectivamente, 3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a produção de A a partir de qual mês?
- Qual é o menor número natural tal que seu dobro seja menor que seu quádruplo menos 17?
- Jaime vende dois tipos de picolés: de frutas a R$ 3,00 cada e de leite a R$ 4,00 cada. Se em um dia ele vender 11 picolés de frutas, qual deve ser a menor quantidade de picolés de leite que ele tem que vender para que seu faturamento seja pelo menos R$ 100,00?
- Uma caixa grande de suco tem 10 litros. Depois de vender vários copos desta caixa, com 250 ml cada, Marcos percebeu, pela sua experiência, que havia no máximo 2,8 litros na caixa. Qual a quantidade mínima de copos vendidos?
- Resolva as desigualdades a seguir.
- d) [pic 47][pic 48]
- e) [pic 49][pic 50]
- f) [pic 51][pic 52]
- Estude o sinal das expressões a seguir.
- g) [pic 53][pic 54]
- h) [pic 55][pic 56]
- i) [pic 57][pic 58]
- j) [pic 59][pic 60]
- k) [pic 61][pic 62]
- l) [pic 63][pic 64]
- Resolva as inequações a seguir.
- j) [pic 65][pic 66]
- k) [pic 67][pic 68]
- l) [pic 69][pic 70]
- m) [pic 71][pic 72]
- n) [pic 73][pic 74]
- o) [pic 75][pic 76]
- p) [pic 77][pic 78]
- q) [pic 79][pic 80]
- r) [pic 81][pic 82]
- Coloque o fator comum em evidência nas expressões a seguir.
- c) [pic 83][pic 84]
- d) [pic 85][pic 86]
- Coloque em evidência na expressão .[pic 87][pic 88]
- Coloque em evidência nas expressões a seguir.[pic 89]
- b) [pic 90][pic 91]
- Simplifique as expressões a seguir.
- h) [pic 92][pic 93]
- i) [pic 94][pic 95]
- j) [pic 96][pic 97]
- k) [pic 98][pic 99]
- l) [pic 100][pic 101]
- m) [pic 102][pic 103]
- n) [pic 104][pic 105]
- Fatore as expressões a seguir.
- f) [pic 106][pic 107]
- g) [pic 108][pic 109]
- h) [pic 110][pic 111]
- i) [pic 112][pic 113]
- j) [pic 114][pic 115]
- Resolva as inequações a seguir.
- f) [pic 116][pic 117]
- g) [pic 118][pic 119]
- h) [pic 120][pic 121]
- i) [pic 122][pic 123]
- j) [pic 124][pic 125]
Módulo de um número Real
O valor absoluto de um número real é definido por[pic 126]
[pic 127]
Geometricamente, o valor absoluto de , também chamado módulo de , representa a distância entre e 0. Escreve-se então . Note que o módulo de um número real é sempre positivo.[pic 128][pic 129][pic 130][pic 131]
Exemplos:
- Calcule:
- c) [pic 132][pic 133]
- d) [pic 134][pic 135]
- Resolva a equação .[pic 136]
- Resolva a equação .[pic 137]
- Resolva a inequação .[pic 138]
- Elimine o módulo em .[pic 139]
Propriedades
- , onde .[pic 140][pic 141]
- , ou , onde .[pic 142][pic 143][pic 144]
- Se , então .[pic 145][pic 146]
- Se , e , então .[pic 147][pic 148][pic 149]
- Se , então .[pic 150][pic 151]
- Se , então .[pic 152][pic 153]
- Se , então .[pic 154][pic 155]
Intervalos
São particularmente importantes alguns subconjuntos de , denominados intervalos. Um intervalo é um conjunto que contém cada número real entre dois extremos indicados e, possivelmente, os próprios extremos. Os extremos podem ser números reais, assim como podem ser e .[pic 156][pic 157][pic 158]
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