A Indução Matemática
Por: Daniel Souza • 17/9/2021 • Resenha • 740 Palavras (3 Páginas) • 101 Visualizações
afIndução matemática 4.1
Exercícios resolvidos:
Prova:
(i) Mostre usando o princípio de indução matemática que
∑
n
i=1
i
2
= n(n + 1)(2n + 1) n ∈
_
6
1
Queremos mostrar que a proposição P(n): 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ... + n
2
= n(n + 1)(2n + 1) é verdadeira n ∈ .
I. Base da indução: P(1): 1
2
= · 1(1 + 1)(2 · 1 + 1) é verdadeira
pois 12
= 1 = · 6 = · (2 · 3) = · 1(1 + 1)(2 · 1 + 1)
II. Assumimos que P(k) é verdadeira, hipótese de indução (HI). Então devemos provar que P(k + 1) é verdadeira,
ou seja:
P(k): ∑
k
i=1
i
2
= k(k + 1)(2k + 1) P(k + 1): ∑
k+1
i=1
i
2
= (k + 1)((k + 1) + 1) · (2(k + 1) + 1) ð⇐
Uma maneira de mostrar uma igualdade é partir de um dos membros (onde podemos usar (HI)) e chegar por
igualdades ao segundo membro da proposição ou a uma expressão equivalente.
• Observemos que:
(k + 1)((k + 1) + 1) (2(k + 1) + 1) = (k + 1) (k + 2) (2k + 2 + 1) = (k + 1) (k + 2) (2k + 3) = (k + 1) (2k2
+ 7k + 6)
_
6
_ 1
6
1
_
6
1 _
6
_ 1
6
_ 1
6
1
_
6
1
_
6
1
_
6
_ 1
6
1 _
6
1
Indução matemática 4.2
• Para provar que P(k + 1) é verdadeira, começamos desenvolvendo:
∑
k+1
i=1
i
2
= 1
2
+ 2
2
+ ... + k
2
+ (k + 1)
2
=
(colocando em evidência (k + 1))
(usando (HI) no 1
o_
parêntese)
= (1
2
+ 2
2
+ ... + k
2
) + (k + 1)
2
(propriedade associativa da soma)
= k(k + 1) (2k + 1) + (k + 1)
2
= (k + 1) [ 2k
2
+ k + 6k + 6 ]= (k + 1) (2k
2
+ 7k + 6)
= (k + 1) k(2k + 1) + (k + 1) [ ] = (k + 1) [ k(2k + 1) + 6(k + 1) ]
Deste desenvolvimento e da observação obtemos que
Portanto, concluimos que P(k + 1) é verdadeira.
∑
k+1
i=1
i
2
= (k + 1)(2k
2
+ 7k + 6) = (k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1).
Sendo verificadas as partes I e II, pelo princípio de indução matemática concluímos
que a proposição P(n): ∑
n
i=1
i
2
= n(n + 1)(2n + 1) é válida n ∈
(ii) Mostre pelo princípio de indução matemática que, dado um número real negativo, a < 0, então as potências
ímpares de a são números negativos.
Observemos
...