Matemática Financeira – Regime de capitalização simples e composta

UNIVERSIDADE ANHANGUERA – UNIDERP
Centro de Educação a Distância
Ciências Contábeis- Matemática Financeira













Matemática Financeira






Profª Ivonete Melo de Carvalho











Introdução

O trabalho abaixo tem por objetivo detalhar alguns assuntos relacionados à Matemática Financeira, tais como, cálculos, conceitos e funções, utilizando uma calculadora HP 12C.

Etapa 1

Passo 1-3

Matemática Financeira – regime de capitalização simples e composta

Regime de capitalização simples
O regime de capitalização simples é uma função de 1º grau. A soma do valor principal mais os juros forma o valor futuro. 

Regime de capitalização composta
O regime de capitalização composta é uma função exponencial. Onde se tem o valor presente, o valor futuro, seja ele em qualquer momento, será maior nos juros compostos.
Neste regime os juros são produzidos encima do valor do próximo período que também terá seus juros, é o chamamos de “juros sobre juros”.

Calculadora HP 12C

A calculadora HP 12C é bastante utilizada para resolver problemas matemáticos e financeiros. Ela pode resolver os problemas básicos como: adição, subtração, divisão, multiplicação, porcentagem e também por conter as variáveis necessárias é possível calcular o valor futuro, valor presente, taxas, tempo (período) e etc. Contudo ela atende as necessidadesde um estudante e também de um administrador financeiro. 

Passo 2-2

Caso A

Na época em que Marcelo e Ana se casaram, algumas dívidas impensadas foram contraídas. Deslumbrados pelo grande dia, usaram de forma impulsiva recursos de amigos e créditos pré-aprovados disponibilizados pelo banco em que mantinham uma conta corrente conjunta há mais de cinco anos. O vestido de noiva de Ana bem como o terno e os sapatos de Marcelo foram pagos em doze vezes de R$ 256,25 sem juros no cartão de crédito. O Buffet contratado cobrou R$ 10.586,00, sendo que 25% deste valor deveria ser pago no ato da contratação do serviço, e o valor restante deveria ser pago um mês após a contratação. Na época, o casal dispunha do valor da entrada, e o restante do pagamento do Buffet foi feito por meio de um empréstimo a juros compostos, concedido por um amigo de infância do casal. O empréstimo com condições especiais (prazo e taxa de juros) se deu da seguinte forma: pagamento total de R$ 10.000,00 após dez meses de o valor ser cedido pelo amigo. Os demais serviços que foram contratados para a realização do casamento foram pagos de uma só vez. Para tal pagamento, utilizaram parte do limite de cheque especial de que dispunham na conta corrente, totalizando um valor emprestado de R$ 6.893,17. Na época, a taxa de juros do cheque especial era de 7,81% ao mês.

Segundo as informações apresentadas,tem se:

I - O valor pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento foi de R$ 19.968,17.

Resposta (Utilizando a calculadora HP 12C):

Vestido de noiva, terno e sapatos= f CLX 256,25 ENTER 12 X 3.075,00
25% do Buffet contratado= f CLX 10.586,00 ENTER 25 % 2.646,50
Empréstimo concedido por um amigo= 10.000,00
Limite de cheque especial= 6.893,17
Soma dos gastos= f CLX 3.075,00 ENTER 2.646,50 + 10.000,00 + 6.893,17 + 22.614,67

Conforme pudemos observar acima, o valor total pago por Marcelo e Ana para a realização do casamento não foi de R$ 19.968,17. Então esta afirmação está ERRADA.

II - A taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana foi de 2,3342% ao mês.

Resposta (Utilizando a calculadora HP 12C):

O valor emprestado do amigo foi de R$ 7.939,50
E após 10 meses o pagamento deste empréstimo foi de R$ 10.000,00

f CLX 10.000,00 CHS FV 7.939,50 PV 10 n i 2,3342

Conforme pudemos observar acima, a taxa efetiva de remuneração do empréstimo concedido pelo amigo de Marcelo e Ana realmente foi de 2,3342% ao mês. Então esta afirmação está CERTA.

III - O juro do cheque especial cobrado pelo banco em 10 dias, referente ao valor emprestado de R$ 6.893,17, foi de R$ 358,91.

Resposta (Utilizando a calculadora HP 12C):

A taxa de juros do cheque especial era de 7,81% ao mês

Conversão da taxa de mês para dia= fCLX 1 ENTER 7.81 % + 30 1/x yx 1 – 0,003 ENTER 100 X 0,30

Valor do juro= f CLX 0,30 i 10 n 6.893,17 CHS PV FV 7.102,78 ENTER 6.893,17 – 209,61

Conforme pudemos observar acima, o juro do cheque especial cobrado pelo banco em 10 dias, referente ao valor emprestado de R$ 6.893,17, não foi de R$ 358,91, mas sim de R$ 209,61. Então esta afirmação está ERRADA.

Caso B

Marcelo e Ana pagariam mais juros se, em vez de utilizar o cheque especial disponibilizado pelo banco no pagamento de R$ 6.893,17, o casal tivesse optado por emprestar de seu amigo a mesma quantia a uma taxa de juros compostos de 7,81% ao mês, pelo mesmo período de 10 dias de utilização. 

Resposta:

Apenas observando a afirmação acima podemos concluir que Marcelo e Ana pagariam o mesmo valor de juro, pois as taxas de juros compostos ao mês são as mesmas nos dois casos.
Então esta afirmação esta ERRADA.

Passo 3

Para o desafio do Caso A:

Associar o número 3, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: errada, certa e errada.

Para o desafio do Caso B:

Associar o número 1, se a afirmação estiver errada.


Etapa 2 

Passo 1-3

Conceitos de séries de pagamentos uniformes

Postecipados:
Quando o pagamento for postecipado, o primeiro pagamento ocorre somente ao final do primeiro período.
Antecipados:
A denominação "pagamento antecipado" se refere a uma situação emque o primeiro pagamento recebido é feito no instante inicial (no início do período). As demais parcelas assumem individualmente um valor idêntico a esse durante todo o período da operação. Sequencia de pagamentos uniformes:
Acontece quando há uma situação em que um empréstimo é pago em parcelas iguais e consecutivas, período a período. A sequencia de pagamentos uniformes pode assumir duas formas: a de pagamentos postecipados e a de pagamento antecipado.

Passo 2
                          
Caso A

Marcelo adora assistir a bons filmes e quer comprar uma TV HD 3D, para ver seus títulos prediletos em casa como se estivesse numa sala de cinema. Ele sabe exatamente as características do aparelho que deseja comprar, porque já pesquisou na internet e em algumas lojas de sua cidade. Na maior parte das lojas, a TV cobiçada está anunciada por R$ 4.800,00. No passado, Marcelo compraria a TV em doze parcelas “sem juros” de R$ 400,00, no cartão de crédito, por impulso e sem o cuidado de um planejamento financeiro necessário antes de qualquer compra. Hoje, com sua consciência financeira evoluída, traçou um plano de investimento: durante 12 meses, aplicará R$ 350,00 mensais na caderneta de poupança. Como a aplicação renderá juros de R$ 120,00 acumulados nesses dozes meses, ao fim de um ano, Marcelo terá juntado R$ 4.320,00. Passado o período de 12 meses e fazendo uma novapesquisa em diversas lojas, ele encontra o aparelho que deseja, última peça (mas na caixa e com nota fiscal), com desconto de 10% para pagamento à vista em relação ao valor orçado inicialmente. Com o planejamento financeiro, Marcelo conseguiu multiplicar seu dinheiro. Com o valor exato desse dinheiro extra que Marcelo salvou no orçamento, ele conseguiu comprar também um novo aparelho de DVD/Blu-ray juntamente com a TV, para complementar seu “cinema em casa”.

De acordo com a compra de Marcelo, têm-se as seguintes informações:

I - O aparelho de DVD/Blu-ray custou R$ 600,00.

Resposta (Utilizando a calculadora HP 12C):

Valor da TV= R$ 4.800,00
Com desconto de 10 % para pagamento à vista o valor será de= 
f CLX 4.800,00 ENTER 10 % 480,00
f CLX 4.800,00 ENTER 480 – 4.320,00

Conforme pudemos observar acima, com o desconto concedido na TV, Marcelo utilizou todo o dinheiro que havia juntado e com isso não restou dinheiro para comprar o DVD. Então esta afirmação está ERRADA.

II - A taxa média da poupança nestes 12 meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro foi de 0,5107% ao mês.

Resposta (Utilizando a calculadora HP 12C):

Valor aplicado na caderneta de poupança= R$ 350,00
Valor juntado na caderneta de poupança= R$ 4.320,00

f CLX 4.320,00 ENTER 12 ÷ 360,00
f CLX 12 n 350,00 PV 360,00 CHS FV i 0,2350

Conforme pudemos observar acima, a taxa média dapoupança nestes 12 meses em que Marcelo aplicou seu dinheiro não foi de 0,5107% ao mês, mas sim de 0,2350% ao mês. Então esta afirmação está ERRADA.

Caso B

A quantia de R$30.000,00 foi emprestada por Ana à sua irmã Clara, para ser liquidada em 12 parcelas mensais iguais e consecutivas. Sabe-se que a taxa de juros compostos que ambas combinaram é de 2,8% ao mês.

A respeito deste empréstimo, tem-se:

I - Se Clara optar pelo vencimento da primeira prestação após um mês da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.977,99.

II - Clara, optando pelo vencimento da primeira prestação no mesmo dia em que se der a concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 2.896,88.

III - Caso Clara opte pelo vencimento da primeira prestação após quatro meses da concessão do crédito, o valor de cada prestação devida por ela será de R$ 3.253,21.

Resposta para as três afirmações (Utilizando a calculadora HP 12C):

f CLX 12 n 2,8 i 30.000,00 CHS PV PMT 2.977,99

Obs.: Independente da opção de vencimento das prestações a quantidade de parcelas serão as mesmas. Por isso utilizamos uma resposta só para as três afirmações.

Conforme pudemos observar acima, a afirmação I esta CERTA e as afirmações II e III estão ERRADAS. 

Passo 3

Para o desafio do Caso A:

Associar o número 2, se as afirmações I e II estiveremrespectivamente: errada e errada.

Para o desafio do Caso B:

Associar o número 2, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: certa, errada e errada.


Etapa 3

Passo 1-3

Taxas a juros compostos

As taxas a juros compostos mostram como as taxas se equivalem.
Exemplo: em uma função de uma taxa mensal pode ser determinada sua taxa equivalente anual, e vice-versa. As taxas são equivalentes em dois casos: de um período menor para o maior e de período maior para menor.
                        
Utilização de taxas de juros que fazem parte da economia do Brasil

No dia 05/11/2013, no Estado do Rio de Janeiro, foi divulgado pela Confederação Nacional do Comércio de Bens, o índice de confiança dos Empresários (LCEC), serviços e turismo (CNC), que registrou queda menos intensa em Outubro. Após cair 4,2% e 2,6% em Agosto e Setembro, o ICEC de Outubro teve queda de 2% em relação ao mesmo mês do ano passado. Em comparação, Setembro cresceu 2,9%. Uma pesquisa feita com 6 mil pessoas em todas as capitais do Brasil, aponta que 86,4% dos entrevistados acreditam que a economia irá melhorar nos próximos meses, enquanto 90,5%, esperam um cenário mais favorável para o comércio e 93,5% confiam que haverá melhoria no ambiente empresarial.

Passo 2 

Caso A 

Marcelo recebeu seu 13º salário e resolveu aplicá-lo em um fundo de investimento. A aplicação de R$4.280,87 proporcionou um rendimento de R$ 2.200,89 no final de 1.389 dias.

A respeito desta aplicação tem-se:

I - A taxa média diária de remuneração é de 0,02987%.

Resposta (Utilizando a calculadora HP 12C):

f CLX 4.280,87 ENTER 2.200,89 + 6.481,76
f CLX 1389 n 4.280,37 PV 6.481,76 CHS FV i 0,02987 

Conforme pudemos observar acima, a taxa média diária de remuneração é de 0,02987%. Então a afirmação está CERTA.

II - A taxa média mensal de remuneração é de 1,2311%.

Resposta (Utilizando a calculadora HP 12C):

f CLX 1 ENTER 0,02987 % + 30 yx 1 – 0,0090 ENTER 100 X 0,90

Conforme pudemos observar acima, a taxa média mensal de remuneração não é de 1,2311%, mas sim de 0,90%. Então a afirmação está ERRADA.

III - A taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada mensalmente, é de 11,3509%.

Resposta (Utilizando a calculadora HP 12C):

f CLX 1 ENTER 0,90 % + 12 yx 1 – 0,1135 ENTER 100 X 11,3509

Conforme pudemos observar acima, a taxa efetiva anual equivalente à taxa nominal de 10,8% ao ano, capitalizada mensalmente, é de 11,3509%. Então a afirmação está CERTA.

Caso B

Nos últimos dez anos, o salário de Ana aumentou 25,78%, enquanto a inflação, nesse mesmo período, foi de aproximadamente 121,03%. A perda real do valor do salário de Ana foi de –43,0937%.

Resposta (Utilizando regra de três e calculadora HP 12C): HP 12C: f CLX 100 ENTER 25,78 + 125,78◊100% + 25,78% = 125,78%
HP 12C: f CLX 100 ENTER 121,03 + 221,03◊100% + 121.03% = 221,03%

HP 12C: f CLX 125,78 ENTER 221,03 – 95,25◊125,78 - 221,03 = 95,25

Utilizando regra de três:

221,03---------------------100
95,25-----------------------X

221,03 X = 95,25 . 100
(HP 12C: f CLX 95,25 ENTER 100 X 9.525,00)◊221,03 X = 9.525,00
X = 9.525,00 / 221,03 
(HP 12C: f CLX 9.525,00 ENTER 221,03 ÷ 43,0937)◊X = 43,0937

Conforme pudemos observar acima, a perda real do valor do salário de Ana realmente foi de –43,0937%. Então a afirmação está CERTA.

Passo 3

Para o desafio do Caso A:

Associar o número 5, se as afirmações I, II e III estiverem respectivamente: certa, errada e certa.

Para o desafio do Caso B:

Associar o número 0, se a afirmação estiver certa.


Etapa 4

Passo 1-3

Amortização de empréstimos

A amortização de empréstimos funciona da seguinte forma: 
Você fez um empréstimo em um banco ou agencia especifica, não importa, e irá pagar este empréstimo em 36 meses. Depois de passado uns cinco meses, por exemplo, você terá pagado cinco parcelas deste empréstimo. Aí faz alguns cálculos das contas a pagar do mês e vê que irá sobrar dinheiro. Você vai até o local em que fez o empréstimo e pede para adiantar algumas parcelas. 
Estas parcelas que irá adiantar serão pagas detrás para frente. Suponhamos que optou por adiantar 10 parcelas, então serão adiantadas as parcelas de números: 36, 35, 34, 33, 32, 31, 30, 29, 28, 27, desta forma. E isso é o que chamamos de amortização de empréstimos.

Sistemas de amortização

Sistema de Amortização Constante (SAC)
Este é o sistema que consiste em fazer com que a amortização das parcelas seja igual. Sendo ele o mais utilizado na prática.

Sistema de Amortização Francês (Price ou SAF)
Este sistema consiste em fazer com que as prestações da amortização sejam iguais.

Sistema de Amortização Americano (SAA)
Este sistema consiste no pagamento de uma única parcela da amortização no final do prazo determinado. Mas com os juros sendo pagos devidamente nos respectivos meses (parcelas). 

Passo 2

Retornar ao Caso B da Etapa 2 para a realização deste passo.

Caso A
Se Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema de amortização das parcelas se daria pelo SAC (Sistema de Amortização Constante), o valor da 10ª prestação seria de R$ 2.780,00, e o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$ 5.000,00.


Conforme pudemos observar na imagem acima, o valor da 10ª prestação não seria de R$ 2.780,00, e o saldo devedor atualizado para o próximo período também não seria de R$ 5.000,00. Então esta afirmação está ERRADA.

Caso B
Se Ana tivesse acertado com a irmã que o sistema deamortização das parcelas se daria pelo sistema PRICE (Sistema Frances de Amortização), o valor da amortização para o 7º período seria de R$ 2.780,00, o saldo devedor atualizado para o próximo período seria de R$ 2.322,66, e o valor do juro correspondente ao próximo período seria de R$ 718,60.


Conforme pudemos observar na imagem acima, o valor da amortização para o 7º período não seria de R$ 2.780,00, o saldo devedor atualizado para o próximo período também não seria de R$ 2.322,66, e o valor do juro correspondente ao próximo período também não seria de R$ 718,60. Então esta afirmação está ERRADA.

Passo 3

Para o desafio do Caso A:

Associar o número 3, se a afirmação estiver errada.


Para o desafio do Caso B:

Associar o número 1, se a afirmação estiver errada.

Conclusão

Após as pesquisas realizadas para elaboração deste trabalho, aprendemos mais sobre os temas da Matemática Financeira e de sua importância. Aprendemos sobre utilização da calculadora HP 12C, regimes de capitalização, pagamentos uniformes, taxas de juros, amortização e a importância da Matemática Financeira na área administrativa.

Referencia Bibliográfica

Sites:
www.ebc.com.br◊
www.matematicafinanceira.webnode.com.br◊
www.somatematica.com.br◊

Livros:
Matemática Financeira com HP 12C e Excel- GIMENES, Cristiano Marchi.◊
Guia do usuário- hp 12c Calculadora financeira.◊ 

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