A Combinação Linear
Por: Messala Reis • 15/2/2017 • Ensaio • 3.421 Palavras (14 Páginas) • 167 Visualizações
COMBINAÇÃO LINEAR
Uma expressão da forma a1u1 + a2u2+ . . . +anun = w, onde a1, a2, . . . ,an são escalares e u1, u2, . . .,un e w, vetores do ℜn chama-se combinação linear.
Em outras palavras, sejam V um espaço vetorial real ( ou complexo), v1, v2,...,vn ∈ V e a1,...,an, números ℜ (ou complexos).
Então o vetor [pic 1] é um elemento de V, e dizemos que “v” é uma combinação linear de v1,...,vn.
W = [ v1,...,vn] é chamado subespaço quando por v1,...,vn.
Por exemplo, os vetores e1 = (1, 0, 0); e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) geram o espaço vetorial R3, pois qualquer vetor (a, b, c) ∈ R3 pode ser escrito como combinação linear dos ei, especificamente:
(x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)
Sendo u = (x, y, z) se o sistema de equações lineares resultante da combinação linear não for consistente, isto é, não tiver solução, então o vetor não pode ser escrito como combinação linear, logo não gera um espaço.
Exemplos.:
- Sejam [pic 2] e os escalares a1 = 2 e a2 = -1. Podemos encontrar um vetor [pic 3]= (x, y) que seja combinação linear de [pic 4]
[pic 5](x, y) = 2.(3, 1) + (-1).(2, 4) = (4, -2) = [pic 6]
- Sejam os vetores [pic 7]= (1, -3, 2) e [pic 8]= (2, 4, -1).
O vetor [pic 9]= (-4, -18, 7) pode ser escrito como combinação linear de [pic 10].
(-4, -18, 7) = a1.(1, -3, 2) + a2.(2, 4, -1)
[pic 11]
COMBINAÇÕES LINEARES E SUBESPAÇOS GERADOS
Seja um vetor espaço vetorial. Considere um subconjunto [pic 12]⊂ V, com A ≠ φ. O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. O subespaço diz-se gerado por [pic 13] Ou seja:
S = G (A) ou [pic 14]
Os vetores v1,...vn são chamados geradores de S e A é o conjunto gerador.
Exercícios:
- Os vetores i = (1, 0) e j = (0, 1) geram o espaço vetorial ℜ2, pois qualquer (x, y) ∈ ℜ é combinação linear de i e j.
(x, y ) = x.(1, 0) + y.(0, 1) = (x, y)
[ i, j ] = ℜ2
- Os vetores [pic 15]=(1, 0, 0), [pic 16] =(0, 1, 0) e [pic 17] =(0, 0, 1) geram o espaço vetorial ℜ3.
(x, y, z) = x.(1, 0, 0) + y.(0, 1, 0) + z.(0, 0, 1)
Obs.: i, j e k são chamados de vetores unitários, e também podem ser representados por e1, e2, e3.
- Seja V = ℜ3. Determinar o subespaço gerado por v1 = (2, 1, 3).
[ v1 ] = { (x, y, z) ∈ ℜ2 / (x, y, z) = a.(2, 1, 3), a ∈ ℜ }
[pic 18]
Obs.: O subespaço gerado por um vetor v, ∈ ℜ3, v1 ≠ 0, é uma reta que passa pela origem.
- Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A = { (1, 0, 0) , (0, 0, 1) }.
[pic 19](x, y, z) = a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 0, 1).
(x, y, z) = (a1, 0, 0) + (0, 0, a2) = (a1, 0, a2) ∴ x = a1
y = 0
z = a2
S = { (x, y, z) ∈ ℜ3 / y = 0 }
S = { (x, o, z) ∈ ℜ3 / x, z ∈ℜ }
Obs.: S é o plano xz
DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR
Definição. Seja V um espaço vetorial e V. Dizemos que o conjunto A={} é linearmente independente (LI) ou os vetores são L.I. se a equação: ℜ implica que .
No caso em que exista algum é linearmente dependente (LD) ou que os vetores v1, v2, ... , vn são L.D.
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