ATPS Calculo2

Sumário

INTRODUÇÃO 3

RELATÓRIO 1 INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA 4

O CONCEITO DE CÁLCULO INTEGRAL 5

APLICAÇÃO DA TEORIA DAS INTEGRAIS NAS CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO 7

RESOLUÇAO DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 9

Etapa 1 – Desafio A: 9

Etapa 1 – Desafio B: 10

Etapa 1 – Desafio C: 11

RELATÓRIO 2 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 12

A HISTÓRIA DAS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO 13

RESOLUÇAO DOS PROBLEMAS PROPOSTOS 15

2.1.1. Etapa 2 – Desafio A: 15

BIBLIOGRAFIA 16

 

INTRODUÇÃO

A importância da Matemática na História já é reconhecida há séculos. Poderíamos dizer que a Matemática é mãe de todas as ciências. Os cálculos com suas verdades incontestáveis já ajudaram muitos pesquisadores e comprovar suas teorias e a mudar a forma como o mundo se encara hoje em dia.

Sendo a “mãe” das ciências a matemática presenciou e se aprimorou com o surgimento desta. Seja no desenho de formas geométricas no chão por Pitágoras ou na contribuição Maia do “abstrato” algarismo zero.

Ainda hoje a matemática evoluí junto à sociedade estando presente em desde um simples aparelho doméstico de reprodução de CDs (que faz uso de algoritmos de correção de erros) até mesmo a sonda Voyager II que vaga pelo espaço com uma rota calculada por equações diferenciais.

 

RELATÓRIO 1

INTEGRAL INDEFINIDA E INTEGRAL DEFINIDA

 

O CONCEITO DE CÁLCULO INTEGRAL

O cálculo da integral de uma função surgiu originalmente como um método de se calcular a área sob uma curva.

Assim como em qualquer ciência a matemática foi modelada com contribuições de toda comunidade. O grego Arquimedes nos ensinou com o uso do método da exaustão como calcular a área de um círculo. O alemão Kepler levou a Física para o Espaço cunhando o conceito ‘infinitesimal’ para calcular áreas de vários setores de uma região elíptica em seu trabalho sobre o movimentos dos planetas.

Os séculos passaram e mais aprimoramentos no cálculo da integral de uma função foram surgindo. Cavalieri desenvolveu a ideia de Kleper que por sua vez foi aprimorada por John Wallis e estudada por tantos outros pesquisadores.

Mas foram Newton e Gottfried Leibniz que sintetizaram todas essas contribuições em um dos ramos mais uteis da matemática.

Apesar de Leibniz ter usado o Cálculo em aplicações analíticas, cuja notação de Leibniz é utilizada até hoje, 10 anos após Newton ele ainda é considerado um dos “inventores” do Cálculo. Por sua vez, Newton aplicou o Cálculo à Física desenvolvendo os métodos de fluxions (derivação) e fluents (integração) e utilizou-os na construção da mecânica clássica. Para Newton, a integração consistia em achar fluents para um dado fluxion considerando, desta maneira, a integração como inversa da derivação. Com efeito, Newton sabia que a derivada da velocidade, por exemplo, era a aceleração e a integral da aceleração era a velocidade.

Leibniz usava a integração como uma soma inspirando-se em Cavalieri. Daí o símbolo “∫” um “S” longo que representa summa .

As ideias de Newton e Leibniz foram resumidas por Leonard Euler, na sua obra sobre integrais. Foi Euler, quem reuniu todo o conhecimento até então desenvolvido e criou os fundamentos da Análise.

Hoje em dia o Cálculo Integral é largamente utilizado em várias áreas do conhecimento humano e aplicado para a solução de problemas não só de Matemática, mas de Física, Astronomia, Economia, Engenharia, Medicina, Química, por exemplo.

 

APLICAÇÃO DA TEORIA DAS INTEGRAIS NAS CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO

Com Arquimedes descobrimos a importância das integrais no cálculo de uma área delimitada por uma curva. Hoje além de ser aplicado nas mais diversas áreas como Economia, Medicina, Psicologia e etc. a Teoria das Integrais se aplicam também à Ciência da Computação na solução de problemas que variam desde a correção de erros binários em mídias físicas até mesmo criação de imagens emuladas em ambientes virtuais.

Um dos primeiros algoritmos desenvolvidos para se gerar imagens de ambientes virtuais foi o chamado Algoritmo Ray – Tracing (Traçado de Raios). O algoritmo consiste em projetar, a partir do um observador, vetores que interceptarão cada um dos pixels que formam a cena do ambiente virtual. As intersecções a que estão sujeitos cada um dos vetores projetados tem que ser confirmadas para todos os objetos que compõe a imagem a fim de determinar qual o que está mais próximo do observador.

Se um determinado vetor não interceptar nenhum objeto no seu trajeto, é atribuído ao pixel, por onde o raio passa, a cor do fundo da cena (SkyBox). No caso de o vetor interceptar algum objeto, e após ter-se confirmado que esta é a intersecção mais próxima do observador para esse mesmo vetor, é necessário determinar a cor do pixel correspondente.

Com o uso do Ray – Tracing é possível tratar certos fenômenos óticos como sobreposição de luzes e sombras e distorção de imagens por refração. Um desses fenômenos é conhecido como “Cáusticas” que são resultado da refração e reflexão da luz em um superfície curva, como por exemplo real a refração da luz incidente sobre o fundo de uma piscina.

Uma dos métodos usados para simular esse efeito é o Reverse Ray – Tracing (Traçado de Raios Reverso) em que os vetores cromáticos partem do plano que constitui o fundo refletivo da superfície (o fundo da piscina) e a medida que esse vetor se encaminha em direção ao ponto observador ele ganha uma contribuição de intensidade de cada pixel no trajeto.

Em uma análise mais precisa seria necessário calcular a integral dessa contribuição em cada hemisfério dos pixels que constituem o vetor cromático. Como esse cálculo requer um uso excessivo do CPU usa-se uma amostragem pelo Método de Monte Carlo que avalia