ATPS De Calculo 2

Etapa 2

Aula-tema: Conceito de Derivadas e Regras de Derivação

Passo1

O que é a Constante de Euler?

A constante foi definida pela primeira vez pelo matemático suíço Leonhard Euler no artigo De Progressionibus harmonicus observationes, publicado em 1735.

Número de Euler

Retrato de Leonhard Euler (autoria de Johann Georg Brucker).

Na matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

para , ou seja:

ou ainda, substituindo-se n por

Cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287

Resumidamente a constante de Euler nos mostra o valor do limite quando n tende para o infinito.

Logo, podemos definir a função: f(n) =

Fazendo os cálculos para os seguintes valores de n, temos:

n

1 2

5 2.48832

10 2.59374246

50 2.691588029

100 2.704813829

500 2.715568521

1000 2.716923932

5000 2.71801005

10000 2.718145927

100000 2.718268237

1000000 2.718280469

Conforme mostra na tabela, a medida em que n tende ao infinito, (n→∞), a função se aproxima de: =e

Passo2

Pesquisar sobre “séries harmônicas” na música, na matemática e na física e sobre somatória infinita de uma PG. Fazer um relatório resumo com as principais informações sobre o assunto de pelo menos 1 página e explicar como a Constante de Euler se relaciona com série harmônica e com uma PG, mostrando as similaridades e as diferenças.

A série harmônica alternada é definida conforme: Esta série é convergente como consequência do teste da série alternada,