Atps Calculo

ETAPA 1

Passo 1

O calculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da área de uma região bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfície tridimensional, cuja fronteira também consiste de pelo menos uma curva. Em um problema de cubatura a integral é usada para determinar o valor exato de um solido tridimensional limitado, pelo menos em parte, por superfícies curvas.

Entre os diversos nomes que, de certa forma, moldaram a integral como a conhecemos hoje, pode-se citar: Hipócrates de Chios (aprox. 440 A.C.) executou as primeiras quadraturas e encontrou a áreas de certas lúnulas (região parecida com a lua próxima de seu quarto crescente). Antiphon (cerca de 430 A.C.) que alegou poder encontrar a área de um circulo com uma sequencia infinita de polígonos regulares inscritos, com cada vez mais lados, mas como sua quadratura exigia infinitos polígonos nunca poderia ser terminada sem o conceito moderno de limite. Ele deu origem ao método de exaustão. Arquimedes (287 – 212 A.C.) usou o método de exaustão para encontrar a quadratura da parábola, aproximando sua área com um grande número de triângulos.

Durante o período medieval no Ocidente as ideias de calculo foram aplicadas a problemas de movimento. William Heytesbury (1335) encontrou métodos para a determinação da velocidade e a distância percorridos por um corpo supostamente sob acerelação constante (atualmente, os mesmos resultados são obtidos encontrando duas integrais indefinidas e antiderivadas).

À medida que europeus começaram a explorar o globo, tornou-se necessário ter um mapa do mundo no qual certas retas representassem rumos sobre a superfície da Terra. Houve diversas soluções para esse problema, mas a solução mais famosa foi a projeção de Mercator, embora ele não tenha explicado seus princípios matemáticos. Aquela tarefa foi assumida por Edward Wright que também providenciou uma tabela que mostrava que as distancias ao longo das retas de rumo seriam bem aproximadas somando os produtos (sec f D f), onde f é a latitude; isto é, aproximadamente a integral de sec f.

Passo 2

Desafio A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ∫▒(a³/3+3/a³+3/a)da ?

∫▒(a³/3+3/a³+3/a)da = a^4/12-(3a^(-2))/2+3ln⁡|a|+ c

Alternativa B

Desafio B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de

U$ 10.000 e um custo marginal de C(q) 1000 50q dólares por pé, onde q é a

profundidade em pés. Sabendo que C(0) 10.000, a alternativa que expressa C(q) , o

custo total para se perfurar q pés, é:

C(q) = ∫▒〖1000+50q〗 = 1000q+25q²+C

Sendo C(0) = 10000, temos a seguinte equação:

C(q) = 1000q+25q²+10000

Alternativa A

Desafio C

No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para C(t) é dado por: C(t) = 16,1 . e0,07t. Qual das alternativas abaixo responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

∫_2^4▒〖16,1 .e^0,07t dt〗 =

16,1 ∫_2^4▒e^0,07t dt =

(16,1 .e^0,07t)/0,07 = 230 .e^0,07t |42 =

(230 . e^0,07.4 )- (230 .e^0,07.2 ) = 39,76

Alternativa C

Desafio D

A área sob a curva y= e^(x/2) de x = -3 a x = 2 é dada por:

∫_(-3)^2▒e^(x/2) dx = 2e^(x/2) |2-3

= (2e^1 )- (2e^((-3)/2) ) = 4,99

Alternativa A

Passo 3

Desafio A: O numero 3 foi associado, devido a resposta correta ter sido a alternativa B. O Calculo utilizado para chegar nesta conclusão foi a construção da primitiva através da ferramenta para integrar a função.

Desafio B: O número 0 foi associado, devido a resposta correta ter sido a alternativa A. O calculo foi apenas a construção da primitiva da derivada, associando assim a função completa do problema. Como houve informação de que a C(0) = 10000, foi trocado o número arbitrário C, por 10000. Que é a condição inicial para resolver o problema.

Desafio C: O número 1 foi associado, devido a resposta correta ter sido a alternativa C. O calculo utilizado foi a integração definida da função, nos intervalos de 2 a 4.

Desafio D: O número 9 foi associado, devido a resposta correta ter sido a alternativa A. Como no desafio interior, o calculo utilizado foi a integração definida da função, nos intervalo de -3 a 2.

Passo 4

Nos calculos desta etapa, foi utilizado a Integração da funções para chegar nas primitivas, sendo Integrais indefinidas e Definidas.

A sequencia dos números de cada desafio foi:

3 - 0 - 1 - 9

ETAPA 2

Passo 1

Pierre Fermet (1601 – 1665) desenvolveu uma técnica para encontrar as áreas sob cada uma das “parábolas de ordem superior” (y=kxn, onde k>o é constante e n=2, 3, 4,...) usando retângulos estreitos inscritos e circunscritos para levar ao método de compressão. Então empregou uma serie geométrica para fazer o mesmo para cada uma das curvas y=kxn com valores de n negativos. Mas não conseguiu aplicar estes processos para “hipérboles de ordem superior”, ym=kxn.

Issac Newton publicou um livro com uma tabela de integrais de funções algébricas, e para curvas as quais não podia desenvolver formulas de integração, inventou técnicas geométricas de quadratura. Usando o Teorema Fundamental