Atps De Calculo 2

ETAPA 1

Passo 1

Velocidade instantânea (ou, simplesmente, velocidade) não é definida como a razão entre deslocamento e intervalo de tempo, ao contrário da velocidade média. Mas pode surgir a partir da velocidade média, juntamente com os conceitos matemáticos de limite e derivada.

A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média reduzindo o intervalo de tempo Δt até torná-lo próximo de zero. À medida que Δt diminui, a velocidade média se aproxima de um valor-limite, que é a velocidade instantânea.

Observe que v é a taxa de variação da coordenada de posição com o tempo, ou seja, é a derivada de s em relação a t. Observe também que v, em qualquer instante, é a inclinação da curva que representa a posição em função do tempo no instante considerado. A velocidade

instantânea também é uma grandeza vetorial e, portanto, possui uma direção e um sentido.:

Exemplo:

8 + 4 + 1 + 5 + 2 + 8 = 28

a = 28

F ’’(x) = 28

F ’(x ) = 28x

F ( x ) = 14X²

Passo 2

S(m) x t(s)

S(m) = 14x²

X S(m) = 14x²

0 14.0² = 0

1 14.1² = 14

2 14.2² = 56

3 14.3² = 126

4 14.4² = 224

5 14.5² = 350

V(m/s) x t(s)

V(m/s) = 28x

X S(m) = 28x

0 28.0 = 0

1 28.1 = 28

2 28.2 = 56

3 28.3 = 84

4 28.4 = 112

5 28.5 = 140

Passo 3

Velocidade e Aceleração

Passo 3

Velocidade e Aceleração

Aceleração de um corpo móvel, que define a aceleração como sendo a derivada da função velocidade.

Definimos a aceleração como a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Se v(t) é a velocidade de um objeto em um instante t, temos:

Aceleração média = v(t+h) – v(t)

h

Aceleração instantânea = v’(t) = lim v(t+h) – v(t) .

h→0 h

Resumindo, como a velocidade é a derivada da posição, a aceleração é a derivada segunda da posição. Se y = s(t) é a posição de um objeto em um instante t, então:

 Velocidade: v(t) = dy = s’(t)

dt

 Aceleração: a(t) = d’y = s”(t) = v’(t)

d’t

Exemplo (utilizando o exemplo do caso acima):

f(x) = 8 x2 + 4x - 10

lim f (x+h) - f (x)

h→0 h

lim 8 (x+h)2 + 4x - 10 - (8 x2 + 4x -10)

h→0 h

lim 8 (x2+2xh+h2) + 4x - 10 - (8 x2 + 4x -10)

h→0 h

lim 8x2 + 16xh + 8h2 + 4x - 10 - 8x² - 4x +10

h→0 h

lim 16xh + 8h²

h→0 h

lim h (16x + 8h)

h→0 h

lim 16x + 8h

h→0

lim 16x

h→0

Para o intervalo de 0 a 5s:

f(x) = 16x

f(0) = 16 . (0) = 0

f(1) = 16 . (1) = 16

f(2) = 16 . (2) = 32

f(3) = 16 . (3) = 48

f(4) = 16 . (4) = 64

f(5) = 16 . (5) = 80

Passo 4

Gráfico do crescimento populacional em função do tempo

ETAPA 2

Passo 1

A constante de Euler tem como notação a letra ‘e’ em homenagem ao suíço Leonhard Euler, por ter sido um dos primeiros a estudar a propriedade desse número, esse número é a base dos logaritmos naturais. A primeira referência dessa constante a ser publicada foi por John Napier em 1618, em sua tabela de apêndice de um trabalho sobre logaritmos.

O número é um número irracional e positivo, cujo logaritmo na sua base é chamado natural, logo:

e = 2,718281828459045235360287471352662497757.

Leonhard Euler começou a usar a letra para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque é a primeira letra da palavra exponencial.

Outra aparição do número de Euler é na probabilidade: casos se escolham números entre 0 e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a .

lim1→∞1+(11)2 = 2

lim1→∞1+(15)5 = 2,48832

lim1→∞1+(110)10 = 2,593742

lim1→∞1+(150)50 = 2,691588

lim1→∞1+(1100)100 = 2,704813

lim1→∞1+(1500)500