Calculo II Derivadas E Integrais

Aula 2: APLICAÇÕES DAS DERIVADAS

Reta- equação

1) Na forma inclinação-intersecção com o eixo y

Equação da reta que tem inclinação m e corta o eixo y no ponto de ordenada n

y = mx + n

  

:int sec ( )

: ( )

n er ção com o eixo y coeficiente linear

m inclinação da reta coeficiente angular

m =

x

y





Escreva a equação da reta cujo gráfico é dado abaixo:

(fig 1)

2) Na forma ponto- inclinação

Equação da reta que tem inclinação m e que passa pelo ponto P(x 0 , y 0 )

y - y 0 = m (x- x 0 )

Exemplo: Determine a equação da reta que tem inclinação m =

2

1

e que passa pelo ponto (2,-3)

Derivada como coeficiente angular da reta tangente

Reta tangente a uma curva num determinado ponto indicado.

Seja f(x) = x 2 cujo gráfico é dado abaixo. Determine o coeficiente angular da parábola y = x 2 no ponto

P(2,4). Escreva a equação da reta tangente à parábola nesse ponto.

2

O coeficiente angular da reta secante PQ = 4

2 2

(2 )2 4

 

 

 

h

h

h

Fazendo o ponto Q se aproximar cada vez mais do ponto P, temos a reta tangente à parábola no ponto

(2,4)

O coeficiente angular da reta tangente = lim h0 lim ( 4)

2 2

(2 ) 4

0

2

 

 

 

 h

h

h

h = 4

O coeficiente angular da curva no ponto P é igual ao coeficiente angular da reta tangente à curva nesse

ponto P.

Equação da reta tangente: y = 4x -4

Seja uma função f(x) e x = x 0

lim h0 h

f (x h) f (x ) 0 0  

= f’(x 0 ).

O coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto x = x 0 é a derivada da

função nesse ponto.

Exemplos

1) Determine a equação de uma reta tangente à curva da função dada no ponto correspondente

ao valor de x especificado:

f(x) = 3x 2x3 x = -1

2) Quais são os valores de x para os quais o gráfico de f(x) =2x 3 +3x 2 -12x +1 tem tangentes

horizontais?

Derivada como taxa de variação

Suponhamos que uma partícula desloca-se sobre o eixo x com função posição x = f (t).

Isto significa dizer que a função f fornece a cada instante a posição ocupada pela partícula na

reta.

A velocidade média da partícula entre os instantes t e t + t é definida pelo quociente:

t

f t t f t



(   )  ( )

, onde x = f (t + t) – f (t) é o deslocamento da partícula entre os instantes

t e t + t.

3

A velocidade da partícula no instante t é definida como sendo a derivada, caso exista, de f em

t, isto é:

v(t) =

dt

dx

= f’ (t)

Então, v (t) = lim t0 t

f t t f t



(   )  ( )

A aceleração no instante t é definida como sendo a derivada em t da função v = v’ (t)

a(t) =

dt

dv

= v’ (t) = 2

2

dt

d x

Exemplos:

1) Uma partícula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posição x é dada por x =

t2, t ≥0, onde x é dado em metros e t em segundos.

a) Determine as posições ocupadas pela partícula nos instantes t = 0, t = 1 e t = 2

b) Qual é a velocidade no instante t?

c) Qual é a aceleração no instante t?

d) Esboce o gráfico da função de posição.

2) Um partícula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posição x é dada por x =

cos