Cálculo

Integração por Partes

Em geral, não é verdade que

Proposição: Temos,

Exemplo 1:

u = x  du = dx

dv = cos(x)dx  v = sen(x) I = x.sen(x) + cos(x) + C

Exemplo 2:

u = x2 + 3x  du = (2x + 3)dx dv = sen(x)dx  v = -cos(x)

u = 2x + 3  du = 2.dx dv = cos(x)dx  v = sen(x)

(Tente inverter a escolha. O que acontece?)

Observação 1: De modo geral, em integrais das formas

onde f(x) é um polinômio, usamos a integração por partes fazendo, respectivamente,

u = f(x)  du = f´(x).dx dv = cos(x)dx  v = sen(x) ou

u = f(x)  du = f´(x).dx dv = sen(x)dx  v = -cos(x)

Exemplo 3:

u = x  du = dx dv = exdx  v = e

Observação 2: De modo geral, em integrais da forma

onde f(x) é um polinômio tomamos

u = f(x)  du = f´(x).dx dv = axdx  v = ax/ln(a)

Exemplo 4:

u = ln(x)  du = dx/x dv = dx  v = x

Exemplo 5:

u = ln(x)  du = dx/x dv = dx  v = x

Observação 3: De modo geral, em integrais da forma

onde f(x) é uma função polinomial, tomamos

dv = f(x)  v = uma primitiva de f(x)

Exemplo 6:

u = arctg(x)  du = dx/(x2 +1) dv = dx  v = x

Exemplo 7:

u = arctg(x)  du = dx/(x2 +1) dv = dx  v = x

Exemplo 8:

dv = dx  v = x

Exemplo 9:

u = eax  du = a.eax.dx

u = eax  du = a.eax.dx