Cálculo De Funções De várias Variáveis

Cálculo de funções de várias variáveis

para os cursos de Engenharia Anotações de Aulas Eurípedes Machado Rodrigues

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REVISÃO DE DERIVADAS E INTEGRAIS PARA UMA VARIÁVEL

Para facilitar o cálculo das derivadas das funções de uma variável, evitando o uso da

definição, podemos usar as regras de derivação a seguir:

REGRAS DE DERIVAÇÃO:

(derivadas de algumas funções elementares)

Função Derivada

y = k y’ = 0 K = constante real;

y = x y’ = 1 u e v são funções de x;

y = k . x y’ = k n é um número natural.

y = x n y’ = n . x n – 1

y = k . x n y’ = k . n . x n − 1

y = k . u y’ = k . u’

y = u n y’ = n . u n – 1 . u’

y = u ± v y’ = u’ ± v’

y = u . v y’ = u’.v + v’. u

y =

v

u

y’ =

v2

u'. v − v' . u

y = eu y’ = eu . u’

y = ln u y’ =

u

u'

Obtidas a partir da

Regra da Cadeia

y = au y’ = au . ln a . u’

y = log a u y’ =

u

u'

. log a e ou y’ =

u . ln a

u'

y = sen u y’ = u’ . cos u

y = cos u y’ = − u’ . sen u

y = tg u y’ = u’ . sec2 u

y = cotg u y’ = – u’ . cosec2 u

Exemplos:

I) Calcular pela regra de derivação a derivada das seguintes funções:

1) f(x) = 5 f’(x) = D(k) = 0

2) f(x) = 3 . x f’(x) = D(k . x) = k f’(x) = 3

3) f(x) = x3 f’(x) = D(xn) = n . x n – 1 , n = 3

f’(x) = 3 . x 3 – 1 f’(x) = 3 x2

4) f(x) = 3x + 2 f’(x) = D(u + v) = u’ + v’ = 3 + 0 = 3

5) f(x) = (2x + 3)3 f’(x) = D(un) = n . un – 1 . u’

n = 3

u = 2x + 3 u’ = 2 + 0 = 2

f’(x) = 3 . (2x + 3)3 – 1 . 2 f’(x) = 6 . (2x + 3)2

6) y = x3 – 12x + 5 y’ = 3x2 – 12

Cálculo de funções de várias variáveis

para os cursos de Engenharia Anotações de Aulas Eurípedes Machado Rodrigues

2

7) y = x2 − 3x y = (x2 – 3x) 2

1

y’ = D(un) = n . un−1 . u’

n = 1/2

u = x2 – 3x u’ = 2x – 3

y’ =

2

1

. (x2 – 3x)

1

2

1

−

. (2x – 3) y’ =

2

1

. (x2 – 3x) 2

−1

. (2x – 3)

8) y = (2 + 3x).(5 – 2x) y’ = D(u . v) = u’.v + v’. u

u = 2 + 3x u’ = 3

v = 5 – 2x v’ = −2

y’ = 3 . (5 – 2x) + (−2) . (2 + 3x) = 15 – 6x – 4 – 6x y’ = 11 – 12x

9) y =

3x 1

2x 4

−

+

y’ = D 









v

u

=

v2

u'. v − v' . u

u = 2x + 4 u’ = 2

v = 3x – 1 v’ = 3

y’ =

(3x 1)2

2 . (3x 1) 3 . (2x 4)

−

− − +

=

(3x 1)2

6x 2 6x 12

−

− − −

y’ =

(3x 1)2

14

−

−

10) f(x) = ln (x3 – 2) f’(x) = D(ln u) =

u

u'

u = x3 – 2 u’ = 3x2 y’ =

x 2

3x

3

2

−

11) f(x) = e5x –2 f’(x) = D(eu) = eu . u’

u = 5x – 2 u’ = 5 y’ = 5. e5x – 2

12) y = 2 x 3x 2 −