Determinação de matrizes

Resumo

Este trabalho apresenta as características exigíveis para a apresentação de um relatório técnico-científico, conforme a norma técnica NBR 10719:1989, da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). O objetivo é observar, organizar e gerenciar os custos envolvidos em cada etapa do serviço, utilizando as operações com matrizes a através de planilhas desenvolvidas com auxílio de software.

Introdução

Foi realizada uma pesquisa na empresa Nova Montest, onde foi observado o serviço realizado durante um dia. O custo financeiro da empresa foi baseado no salário dos funcionários já que os clientes fornecem os materiais necessários para execução da obra. Assim foram aplicadas as operações com matrizes podendo gerenciar os custos diários e mensais da empresa.

Desenvolvimento

Definição de matrizes:

Chama-se matriz m n a uma tabela retangular com m.n elementos, dispostos em m linhas e n colunas. Na grande maioria das vezes esses elementos são números. Elas são usadas frequentemente para organizar dados. Uma matriz é uma dupla sequencia de números (reais ou complexos), distribuídos em m linhas e n colunas, formando um arranjo retangular, que se indica na forma ou na forma abreviada por , e cada número aij que compõe a matriz chama-se termo dessa matriz.

Operações com Matrizes

a) Adição

Sejam duas matrizes : e . Define-se a soma de A com B, e denota-se por , como sendo a matriz .

b) Multiplicação por escalar

Seja uma matriz , , e R. Define-se o produto de por A, e denota-se por , como sendo a matriz .

c) Multiplicação de Matrizes

Seja uma matriz , , e uma matriz , . Define-se o produto de A por B e denota-se por , como sendo a matriz onde .

O que essa definição diz é que, para formar o elemento , deve-se tomar a i-ésima linha de A e a j-ésima coluna de B, multiplicar os elementos correspondentes dois a dois e somar os números resultantes; isto é, .

Propriedades

Cada uma das afirmações a seguir é válida quaisquer que sejam os escalares e quaisquer que sejam as matrizes A, B e C para as quais as operações indicadas estão definidas.

1. A + B = B + A (comutativa para a adição)

2. (A + B) + C = A + (B + C) (associativa para a adição)

3. A + O = A (existência do elemento neutro)

4. A + (-A) = O (existência do elemento oposto)

5. A = ( A) (associativa para a multiplicação por escalar)

6. ( ) A = A + A (distributiva)

7. (A + B) = A + B (distributiva)

8. 1A = A

9. (AB)C = A (BC) (associativa para a multiplicação)

10. A (B + C) = AB + AC (distributiva à direita para a multiplicação)

11. (A + B)C = AC + BC (distributiva à esquerda para a multiplicação)

12. (AB) = ( A)B = A ( B) (associativa)

13. IdmA = AIdn = A ( A uma matriz )

Operações elementares

Seja uma matriz , . Entendemos por operações elementares com as linhas de A, uma qualquer das seguintes alternativas:

 Permutar duas linhas de A;

 Multiplicar uma linha de A por um número diferente se zero;

 Somar a uma linha de A uma outra linha de A.

Matrizes equivalentes

Sejam duas matrizes : e . Dizemos que a matriz B é equivalente a matriz A quando, a matriz B puder ser obtida de A através de um número finito de operações elementares. E neste caso, denotamos por B ≈ A.

• Dada uma matriz A, quadrada de ordem m, A é equivalente a uma matriz triangular superior. Tal matriz é dita de forma reduzida da matriz A.

• Dada uma matriz A, quadrada de ordem m, A é equivalente a uma matriz triangular inferior.

Matrizes invertíveis

Definição: Seja uma matriz : , uma matriz quadrada. Dizemos que a matriz A é invertível quando existe uma matriz B, também quadrada de ordem m, tal que AB = Idm e BA = Idm.

Esta matriz, caso exista, é única e chama-se inversa de A e denota-se por A-1.

Propriedades:

1) Se uma linha (ou coluna) de uma matriz A, quadrada de ordem m, é nula então A não é invertível.

2) Se A e B são matrizes quadradas de ordem m, ambas invertíveis, então AB é uma matriz invertível e (AB)-1 = B-1A-1.

3) Se A é uma matriz invertível, então A-1 também é invertível e (A-1)-1 = A.

Teorema

Uma matriz A quadrada de ordem m é invertível se, e somente se, A é equivalente a matriz identidade. Neste caso, a mesma sucessão de operações elementares que transformam a matriz A na matriz identidade, transformam a matriz identidade na inversa da matriz A.

A NOVA MONTEST, com 24 anos de atividade, vem atuando nas áreas elétricas, hidráulicas, automação e telecomunicações, participando dos principais empreendimentos por todo Brasil, executando obras em parceria com as maiores empresas do ramo.

Durante a visita, a empresa Nova Montest realizou como serviço a montagem de toda infraestrutura elétrica dos circuitos de iluminação e toda sua passagem de cabos utilizando eletrodutos galvanizados e cabos flexíveis.

MATERIAIS ULTILIZADOS

DESCRIÇÃO DO MATERIAL QUANT. DE MATERIAL ULTILIZADO PREÇO UNITÁRIO PREÇO TOTAL

Eletroduto Galvanizado 1¨ 60 m R$ 5,50 R$ 330,00

Condulete LL 1 ¨ 12 UNI R$ 4,30 R$ 51,60

Condulete