Ergonomia E Seg. Do Trabalho

ATPS - Equações Diferenciais e Séries

ETAPA 1

Passo 1 (Aluno)

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

A modelagem matemática de um sistema é definida como um conjunto de equações que representam a dinâmica do sistema com precisão ou, pelo menos, de forma bastante aceitável.

A dinâmica de muitos sistemas, pode ser descrita em termos de equações diferenciais.

Tais equações diferenciais podem ser obtidas utilizando-se as leis físicas que

governam um sistema particular, como por exemplo as leis de Newton dos sistemas mecânicos e as leis de Kirchhoff dos sistemas elétricos.

Simplicidade versus precisão.

É possível melhorar a precisão de um modelo matemático aumentando sua complexidade.

Em alguns casos, incluem-se centenas de equações para descrever um sistema completo.

Na obtenção de um modelo matemático, no entanto, deve-se estabelecer um compromisso entre a simplicidade do modelo e a precisão dos resultados da análise.

Em geral na solução de um novo problema considera-se desejável construir inicialmente um modelo simplificado de modo a se adquirir um conhecimento básico e geral para a solução.

Posteriormente, um modelo matemático mais completo poderá ser então elaborado e utilizado para uma análise mais detalhada.

Não-linearidades.

Embora muitas relações físicas sejam representadas freqüentemente por equações lineares, na maioria dos casos as relações reais não são exatamente lineares.

De fato, um estudo meticuloso de sistemas físicos revela que mesmo os chamados "sistemas lineares" são realmente lineares apenas em faixas limitadas de operação.

Na prática muitos sistemas eletromecânicos hidráulicos, pneumáticos etc., envolvem relações não-lineares entre as variáveis.

Os procedimentos para determinar as soluções de problemas envolvendo sistemas não-lineares são, em geral, extremamente complicados.

Devido a esta dificuldade matemática inerente aos sistemas não-lineares, torna-se normalmente necessário introduzir sistemas lineares "equivalentes" em substituição aos não-lineares.

Estes sistemas lineares equivalentes são válidos apenas dentro de uma faixa limitada de operação. Uma vez que um sistema não-linear seja aproximado por um modelo matemático linear, várias ferramentas lineares podem ser aplicadas para

fins de análise e projeto.

Passo 2 (Equipe)

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

Se y é uma função de x, e n é um inteiro positivo, então uma relação de igualdade (que não se reduz a uma identidade) que envolva x, y, y', y'', ...,y(n) é chamada uma equação diferencial de ordem n.

DEFINIÇÃO: Equação diferencial é uma equação que apresenta derivadas ou diferenciais de uma função desconhecida (a incógnita da equação).

CLASSIFICAÇÃO

• EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA (EDO): Envolve derivadas de uma função de uma só variável independente.

• EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL (EDP): Envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.

ORDEM: é a ordem da derivada de mais alta ordem da função incógnita que figura na equação.

Exemplos:

y' = 2x tem ordem 1 e grau 1

y"+x2(y')3 - 40y = 0 tem ordem 2 e grau 3

y"'+x2y3 = x.tanx tem ordem 3 e grau 3

RESOLUÇÃO

A solução de uma equação diferencial é uma função que não contém derivadas nem diferenciais e que satisfaz a equação dada (ou seja, a função que, substituída na equação dada, a transforma em uma identidade).

Ex: Equação diferencial ordinária: = 3x2 - 4x + 1

dy = (3x2 - 4x + 1) dx

dy = 3 x2dx - 4 xdx + dx + C

y = x3 - 2x2 + x + C (solução geral)

Uma solução particular pode ser obtida da geral através, por exemplo, da condição y(-1) = 3

(condição inicial)

3 = -1 - 2 - 1 + C C = 7 y = x3 - 2x2 + x + 7 (solução particular)

Observação: Em qualquer dos dois casos, a prova pode ser feita derivando a solução e, com isso, voltando à equação dada.

As soluções se classificam em:

Solução geral - apresenta n constantes independentes entre si (n = ordem da EDO). Essas constantes, de acordo com a conveniência, podem ser escritas C, 2C, C2, lnC,

Solução Particular - Obtida da geral, mediante condições dadas (chamadas condições iniciais ou condições de contorno).

EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÊNEAS, 2ª ORDEM FORMA :

y'' + a1 y' + a0 y = 0 (a0, a1 constantes)

Ex: y =

Então y' = e y'' =

Substituindo na equação dada: ou ( ) = 0

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