Escalares

Ent˜ao v se exprime de maneira ´unica como combina¸c˜ao linear dos elementos de B1, isto ´e, existem

escalares v1, v2 (elementos de K) tais que:

v = v1 e1 + v2 e2 , (1.1)

(onde os escalares v1, v2 s˜ao as coordenadas de v na base B1).

Seja B0

1 = {e

0

1

, e0

2}, como mostrado na Figura 1.1, uma outra base de E. Analogamente, podemos

escrever:

v = v

0

1

e

0

1 + v

0

2

e

0

2

. (1.2)

Desejamos saber como, dadas as coordenadas de v na base B1 (aqui denominada base antiga),

poderemos determinar as coordenadas de v na base B0

1

(aqui denominada base nova). Sendo e

0

1

, e0

2

elementos de E podemos, em particular, escrever cada um deles como combina¸c˜ao linear dos elementos

da base B1. Assim:

e

0

1 = a11 e1 + a21 e2 ,

e

0

2 = a12 e1 + a22 e2 .

(1.3)

isto ´e, cada vetor da base nova se exprime de maneira ´unica como combina¸c˜ao linear dos vetores da base

antiga.

Assim, em virtude de (1.1), (1.2) e (1.3) temos:

v = v1 e1 + v2 e2 = v

0

1

e

0

1 + v

0

2

e

0

2

= v

0

1

(a11 e1 + a21 e2) + v

0

2

(a12 e1 + a22 e2)

= (v

0

1 a11 + v

0

2 a12) e1 + (v

0

1 a21 + v

0

2 a22) e2 .

Como as coordenadas de um vetor em rela¸c˜ao a uma determinada base s˜ao ´unicas, podemos igualar

os coeficientes. Assim, obtemos o sistema linear:



v1 = v

0

1 a11 + v

0

2 a12

v2 = v

0

1 a21 + v

0

2 a22CAP´ITULO 1. CONCEITOS BASICOS ´ 4

ou na forma matricial: 

v1

v2



=



a11 a12

a21 a22   v

0

1

v

0

2



, (1.4)

ou ainda:

v = A v0

. (1.5)

O sistema (1.4), possui sempre uma e uma s´o solu¸c˜ao v

0

1

, v0

2

, pelo fato de B1 e B0

1

serem bases de E.

Ent˜ao, conhecidas, na base antiga, as coordenadas v1, v2 de v e as coordenadas de cada um dos vetores

e

0

1

, e0

2

, na base antiga, podemos determinar as coordenadas v

0

1

, v0

2 de v na base nova usando (1.4).

Sendo A n˜ao singular, (det(A) 6= 0), existe a inversa A−1 de A. Assim, pr´e-multiplicando (1.5) por

A−1

, obtemos:

v

0 = A

−1

v . (1.6)

A equa¸c˜ao matricial (1.6) mostra como calcular as coordenadas de v na base antiga quando conhecidas

as coordenadas de v na base nova.

Exemplo 1.1 - Seja v = (2,4)t na base {(1,2)t

,(2,3)t}. Calcular as coordenadas de v na base {(1,3)t