Função Modular

1 Módulo ou valor absoluto

"O valor positivo do número real, desprezando-se o sinal. Escreve-se  x. Por exemplo:  3 = 3;  -4 = 4, e  0 = 0".

Genericamente, podemos dizer que o módulo de um número real, é o número sem o seu sinal. Assim, o módulo de -7 é 7, o módulo de -5 é 5, ... , etc.

Para representar o módulo de um número real a , usamos a notação  a , que lê-se módulo de a. Podemos dizer que módulo é a operação de apagar o sinal, conforme pode-se perceber nos exemplos acima.

1.1 Generalidades

Seja x um número real qualquer. Das considerações do item acima, seria correto dizer que  x = x ?. Claro que não! Senão vejamos: Suponha x = -3; teremos:  -3 = 3 = -(-3) = - x. Portanto para x negativo, vale a igualdade  x = -x.

Não se esqueça do fato que se x é negativo, então -x é positivo.

Somente para x positivo ou nulo é que vale a igualdade  x = x.

Das considerações acima podemos concluir que o módulo ou valor absoluto de um número real qualquer é sempre positivo ou nulo. Lembre-se que  0 = 0.

Fica fácil portanto, entender a definição genérica de módulo de um número real apresentada a seguir:

Dado um número real x, definimos módulo de |x|, ou valor absoluto de x como:

O significado destas sentenças é:

i) o módulo de um número real não negativo é o próprio número.

ii) o módulo de um número real negativo é o oposto do número.

Exemplos:

a) Seja y =  x - 3

Para x = 3, temos x – 3 = 0 e portanto  y = 0

Para x  3, temos x – 3  0 e portanto  y = x –3

Para x  3, temos x – 3  0 e portanto  y = - (x – 3) = -x + 3 = 3 – x

b) Seja y =  2 - x

Para x = 2, temos 2 – x = 0 e portanto  y = 0

Para x  2, temos 2 – x  0 e portanto  y = - (2 – x) = -2 + x = x – 2

Para x  2, temos 2 – x  0 e portanto  y = 2 – x

c) Simplifique a expressão y =  2x - 6 +  x- 3 , para o caso particular de x 3.

SOLUÇÃO:

Ora, se x  3 então 2x – 6  0 e portanto  2x - 6 = - (2x – 6) = 6 – 2x

Analogamente, se x  3 então x – 3  0 e portanto  x - 3 = - (x – 3) = 3 - x Portanto, teremos finalmente: y = 6 – 2x + 3 – x = 9 – 3x

Ou seja, y = 9 – 3x para x  3.

Faça agora o mesmo problema para o caso de x  3.

Resposta: y = 3x – 9

2 – Outra definição importante para o módulo de um número real x é:

1.2 Conseqüências importantes

1.3 Exercícios resolvidos

1 - Qual o conjunto solução da equação  x + 1 +  x - 1 = 10 ?

Solução: Considere a reta numerada abaixo onde -1 e +1 são os valores que anulam as expressões entre módulo:

Temos que considerar 3 casos:

1º caso: x  -1: neste caso, tanto x -1 como x+1 são negativos, e portanto:

 x-1 = -(x-1) e  x+1 = -(x+1) . Assim, substituindo as expressões em módulo pelos seus valores válidos nesse intervalo, vem:

-(x-1) + [-(x+1)] = 10  -x + 1 -x -1 = 10 e, portanto x = -5.

2º caso: -1 x  1: neste caso, x + 1 é positivo e x -1 é negativo, e, portanto:

 x+1 = x+1 e  x - 1 = -(x - 1). Assim, substituindo as expressões em módulo pelos seus valores válidos nesse intervalo, vem:

x + 1 + [-(x - 1)] = 10 e, logo chegamos à igualdade 0.x = 8 que é impossível, pois não existe divisão por zero. Logo, nesse intervalo, a equação não tem solução.

3º caso: x  1 : nesse caso, tanto x + 1 quanto x - 1 são positivos e, portanto, teremos:

 x - 1 = x - 1 e  x + 1 = x + 1; substituindo as expressões em módulo pelos seus valores válidos nesse intervalo, vem:

x - 1 + x + 1 = 10  2x = 10 e, logo x = 5. Portanto, o conjunto solução da equação dada é: S = { -5, 5 }.

2 - Agora você deve resolver a equação:  2x + 6 +  2x - 6 = 80.

Resp: x = -20 ou x = 20 ou S = { -20, 20 }.

3 - Resolva a equação:  x 2 - 10  x + 16 = 0.

Solução: Temos de considerar dois casos:

1º caso: x  0 : neste caso, já sabemos que  x = -x. Substituindo as expressões em módulo pelos seus valores válidos nesse intervalo, vem:

(-x)2 - ( - 10x ) + 16 = 0  x2 + 10x + 16 = 0, que é uma equação do 2º grau de raízes -8 e -2 (verifique).

2º caso: x  0 : nesse caso, sabemos que  x = x . Logo, substituindo, vem:

x2 - 10x + 16 = 0, que é uma equação do 2º grau de raízes 2 e 8 (verifique).

Logo, o conjunto solução da equação dada é: S = { - 8, - 2, 2, 8 }.

4 - Resolva a equação:  x 2 - 20  x + 64 = 0.

Resp: S = { -16, -4, 4, 16 }

1.4 Exercícios Propostos

1 - Sendo y =  x - 5 +  3x - 21 +  12 - 3x , se 4  x  5, podemos afirmar que:

a) y =14 - x

b) y = x - 14

c)