Função Quadrática

Função Quadrática

Definição

Chama-se função quadrática, ou função polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.

Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

1. f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1

2. f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1

3. f(x) = 2x2 + 3x - 5, onde a = 2, b = 3 e c = -5

4. f(x) = - x2 + 8x, onde a =-1, b = 8 e c = 0

5. f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, y = ax2 + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = x2 + x: domínio { -3, -2, -1, -1/2, 0, 1, 2}

Primeiro atribuímos a x alguns valores xv=-b/2a, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

x y

-3 6

-2 2

-1 0

0 0

1 2

2 6

Observação:

Ao construir o gráfico de uma função quadrática y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:

• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima; Ponto de mínimo

• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo; Ponto de máximo

Zero e Equação do 2º Grau

Chama-se zeros ou raízes da função polinomial do 2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:

Temos:

Observação

A quantidade de raízes reais de uma função quadrática depende do valor obtido para o radicando , chamado discriminante, a saber:

• quando é positivo, há duas raízes reais e distintas;

• quando é zero, há só uma raiz real;

• quando é negativo, não há raiz real.

Exemplo: na função y=x²-4x+3, as raízes da função serão x=1 e x`=3.

Vejamos o gráfico:

Notem que quando x=1 e x`=3, a parábola intercepta ("corta") o eixo x.

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Simplesmente aplicando a resolução de equações do 2º grau, já vista na seção anterior.

Exemplo: determine a raiz da função y=x²-4x+3

Fazendo y=f(x)=0, temos x²-4x+3=0

Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.

x²-4x+3=0 = (-4)2-4.(1)(3) => = 4

Acharemos que x = 1 e x` = 3.(vide gráfico acima)

Concavidade da parábola

y = f(x) = -x² + 4

a = -1 < 0

Explicarei esta parte com um simples desenho.

y = f(x) = x² - 4

a = 1 >0

Explicarei esta parte com um simples desenho.

a>0 a<0

Os desenhos até que ficaram bonitinhos, mas isso não importa neste momento. O que nos importa agora é que quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima (carinha feliz) e quando a<0, a parábola está voltada para baixo (carinha triste).

Exemplos:

[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.

Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1 x²+2x+1=0

x=x`=-b/2a=-1

As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)

Gráfico:

Quando o discrimintante é maior que zero

Quando o valor de , a parábola intercepta o eixo x em dois pontos. (São as raízes ou zeros da função vistos anteriormente).

Exemplo: y = f(x) = x²-4x+3

x²-4x+3=0

x=1, x`=3

Gráfico: