Função Quadrática

Função Quadrática

Tema:Funções

Conteúdo:Função Quadrática

Competências/Habilidades:

Modelar e resolver problemas que envolvam variáveis usando representações algébricas;

Identificar representações algébricas que expressem a relação entre grandezas;

Interpretar gráficos cartesianos que representem relações entre grandezas;

Conhecer e compreender o comportamento da função em relação aos seus parâmetros.

Série/ano:1° ano – Ensino Médio

Duração:4h/aula

Recursos:

Material escolar

Aula expositiva

Software GeoGebra

Computadores para os alunos

Procedimentos:

Estamos estudando o comportamento do gráfico da função quadrática descrita algebricamente por f(x)=ax²+bx+c, onde a, b e c são números reais, a não nulo, e x um valor real qualquer.

Iremos explorar visualmente a relação entre os parâmetros a, b e c em f(x)=ax²+bx+c e o gráfico no plano cartesiano, mais especificamente sobre o comportamento do gráfico quando alterados seus parâmetros.

INSTRUÇÕES:

Abra o software GeoGebra.

Digite na entrada: a*x^2+b*x+c e tecle “enter”

O programa mostrará a seguinte caixa:

Isso significa que o software precisa saber se queremos manipular os valores de a, b e c.

Após criar os controles deslizantes para a, b e c, aparecerá a seguinte tela:

Com isso conseguimos alterar os valores dos parâmetros e verificar as reações do gráfico.

Explore livremente e veja o que acontece.

Aqui, o professor pode deixar algum tempo para livre exploração dos controles. Os alunos podem fazer questionamentos e o papel do professor é instiga-los, mas sem apresentar soluções.

Questões de Exploração:

Após a digitação da entrada a*x^2+b*x+c aparecerá o esboço do gráfico de uma função quadrática.

Qual é o valor do coeficiente a da função representada pelo gráfico acima?

a=1

Qual é o valor do coeficiente b da função representada pelo gráfico acima?

b=1

Qual é o valor do coeficiente c da função representada pelo gráfico acima?

c=1

Qual é a lei algébrica dessa função quadrática?

f(x)=x^2+x+1

Altere o parâmetro a para o seguinte valor: a=-1.

Que mudanças você identificou visualmente do gráfico anterior (quando a=1) para o posterior (quando a=-1)?

Alterne entre valores negativos e positivos o parâmetro a. Por exemplo, escolha a=-2, a=-2.5, a=1, a=3.5, observando as mudanças do esboço do gráfico. Que diferença você identifica visualmente entre o gráfico cujos valores de a são negativos e aqueles cujos valores de a são positivos?

Se os valores de a são positivos, a concavidade da parábola é voltada para cima e se os valores de a são negativos, a concavidade da parábola é voltada para baixo.

Manipule os valores de para, ora menor que, ora maior que 1..

Por exemplo, para a=0,3, a=0,5 e a=1.

O que você consegue observar:

Aqui, espera-se que o aluno perceba que quando 0<x<1 o gráfico sofre uma expansão. Já para valores maiores que 1, o gráfico sofre uma compressão.

Escolha os valores a=1, b=0 e c=0.

Observe que o gráfico da parábola possui duas partes simétricas, separadas por um eixo vertical de simetria:

Altere o parâmetro c para o seguinte valor: c=3. (Não altere mais o valor de c, até que seja pedido novamente)

Alterne o parâmetro b para os seguintes valores em sequência: b=-3, b=-2, b=-1, b=1, b=2, b=3 e b=0.

Para os valores de b NEGATIVOS, a intersecção do gráfico com o eixo Y ocorre à esquerda ou à direita do eixo vertical de simetria?

A intersecção ocorre à direita.

Para os valores de b POSITIVOS, a intersecção do gráfico com o eixo Y ocorre à esquerda ou à direita do eixo vertical de simetria?

A intersecção ocorre à esquerda.

O que acontece se o valor de b for zero?

O gráfico tem o eixo Y como eixo de simetria.

Escolha os valores a=1, b=0 e c=0.

Mantenha os parâmetros a=1 e b=0, e agora alterne o parâmetro c entre os seguintes valores: c=-4, c=-2, c=0, c=3, c=5.

Observe os gráficos gerados pela alternância do parâmetro c. A sua intersecção com o eixo Y acontece próxima