Leis De Euler

A relação criada pelo matemático suíço Leonhard Euler possui extrema importância na determinação do número de arestas, vértices e faces de qualquer poliedro convexo e alguns não convexos. Essa relação permite que os cálculos sejam realizados no intuito de determinarmos o número de elementos de um poliedro. A fórmula criada por Euler é a seguinte:

V – A + F = 2, onde V = número de vértices, A = número de arestas e F = número de faces.

Exemplo 1

Determine o número de faces de um sólido que possui 10 arestas e 6 vértices.

Resolução:

V – A + F = 2

6 – 10 + F = 2

–4 + F = 2

F = 4 + 2

F = 6

Portanto, o sólido possui 6 faces.

Exemplo 2

Determine o número de vértices da pirâmide quadrangular a seguir:

Visivelmente podemos afirmar que a pirâmide possui 5 vértices, 5 faces e 8 arestas. Vamos agora demonstrar que a relação de Euler é válida na determinação dos elementos da pirâmide de base quadrangular.

Resolução:

Vértices

V – A + F = 2

V – 8 + 5 = 2

V = 2 + 3

V = 5

Arestas

V – A + F = 2

5 – A + 5 = 2

–A = 2 – 10

–A = –8 x(–1)

A = 8

Faces

V – A + F = 2

5 – 8 + F = 2

–3 + F = 2

F = 2 + 3

F = 5

Podemos notar que a relação de Euler é realmente válida na determinação dos elementos de um sólido convexo.

Exemplo 3

O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Determine, utilizando a relação de Euler, o número de faces do poliedro.

Resolução:

Considerando que o número de faces é igual ao número de vértices, podemos representar os valores desconhecidos pela incógnita x. Dessa forma, F = x e V = x.

Aplicando a relação de Euler:

V – A + F = 2

x – 22 + x = 2

2x = 2 + 22

2x = 24

x = 12

Portanto, o número de faces do poliedro com 22 arestas é