MATEMÁTICA PARA O ENSINO BÁSICO

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO[pic 2] CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

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DISCIPLINA: Cálculo Diferencial e Integral I

Trabalho final

Modalidade: em dupla

Data de entrega: 19/06

1ª Atividade: A forma mais econômica para uma lata.

Consideremos uma lata de metal com forma cilíndrica. Sejam V o volume da lata, h a altura da lata e r o raio da base. Suponhamos que o volume seja dado e que queiramos encontrar h e r que minimizem o uso de material (metal) para fazer a lata.

OBS: Para a fabricação da lata usamos um retângulo e dois círculos.

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1. Desprezando qualquer perda de metal no processo de manufatura, como podemos resolver o problema de minimização do material a ser utilizado?
2. Encontre as dimensões h e r que satisfazem o problema de otimização (minimização). Sugestão: Atribua um valor para o volume e relacione h e r.

 O material para fazer as latas será cortado de folhas de metal. Se levarmos em conta as possíveis perdas de metal para a fabricação das latas, observamos que no corte dos retângulos, praticamente não temos perda de material. Estamos então diante do problema seguinte:

1. Como cortar os círculos de forma que a perda de material seja mínima? Consideremos duas possibilidades para os cortes dos círculos:

a) Os círculos são cortados de quadrados de lado 2r (dividimos a folha de metal em quadrados e cortamos os círculos inscritos nos quadrados). Ilustre com uma figura a representação desta situação (uma folha de metal com os cortes circulares). Neste caso, mostre que a quantidade de metal usada é minimizada quando [pic 5].             

Sugestão: Considere a função perda P(r) = área do quadrado – área do círculo.

b) Os círculos são cortados a partir de hexágonos. (dividimos a folha de metal em hexágonos e cortamos os círculos inscritos nos hexágonos). Ilustre com uma figura a representação desta situação (uma folha de metal com os cortes circulares). Neste caso, mostre que a quantidade de metal usada é minimizada quando   [pic 6]. 

Sugestão: Considere a função perda P(r) = área do hexágono – área do círculo.

 

2ª Atividade: Xícaras de café complementares.

Suponha que você possa escolher entre duas xícaras de café do tipo mostrado, uma que se curva para fora e outra que se curva para dentro. Observe que elas têm mesma altura e suas formas se encaixam perfeitamente. Em qual xícara cabe mais café?

Que estratégias matemáticas, dentro do ensino de Cálculo I, você utilizaria para fundamentar a sua resposta?  

Sugestão: Veja as aulas dos fascículos sobre aplicações de integrais.

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