Matemática Aplicada A Administraçao E A Economia

Matemática aplicada a administraçao e a economia

1 INTRODUÇÃO

Se perguntarmos por que esta disciplina; a matemática está incluída na administração? É muito interessante fazermos uma análise deste fato, pois através de matérias e artigos sobre a matemática aplicada na administração, concluímos que a mesma está profundamente inserida na administração, assim como faz parte de nosso cotidiano. Fica claramente definido que a matemática contribui bastante para o administrador proporcionando a ele novas técnicas de planejamento, sejam no controle de finanças, na produção, na comercialização, negociações, ate mesmo na área de recursos humanos e em processo que envolve a administração em geral, bem como no desenvolvimento de seu raciocínio lógico. É formidável o apoio e as atividades exercidas que estimulam o raciocínio lógico e critico, dentro de variados problemas. Tem como base a ideia de selecionar à melhor tomada de decisão para diminuir riscos que podem afetar o futuro, a curto ou longo prazo.

Problemas existem e sempre vão existir, e em dos objetivos da matemática é tornar o método de tomada decisões mais racional possível, para a resolução de problemas. No entendimento dos fatos, concluímos que a matemática tem como objetivo capacitar o administrador a formular o problema, estabelecer as regras a serem aplicadas para conduzir ao melhor resultado. O administrador pode contar com a ajuda significante da tecnologia de informação para o processamento de dados, produzindo informação, que ajudará a visualizar e analisar gráficos, projetos, relatórios, simulação de vendas, planejamentos das despesas, análise de receita, demanda, oferta custos, margens de lucro, etc. O fato de você ter se formado levando a sério o seu Curso de Administração que é o segundo melhor curso valorizado do mundo, em um ambiente de pesquisa, de ter sido habituado a questionar, buscar novas soluções, verificar suas idéias e compará-las com as de outros será uma vantagem no mercado de trabalho

(empresas de consultoria, por exemplo). TUDO SÓ DEPENDE DE VOCÊ! Você estará mais bem preparado para enfrentar os desafios de seu futuro profissional do que alguém que recebeu apenas treinamento técnico. As técnicas estão mudando a cada instante; o que é hoje a última palavra estará, em poucos anos, completamente superado. Para ser bem sucedido no mercado de trabalho é preciso estar preparado para sempre aprender mais durante toda a vida (FORMAÇÃO CONTINUADA), ter a capacidade de estudar para acompanhar e, se possível, antecipar as inovações que irão surgindo. As principais opções no mercado de trabalho são:

Trabalhos na indústria e em serviços que requerem conhecimentos de modelagem matemática em empresas tais como: Petrobrás, IBM, bancos, seguradoras, indústria do petróleo, Telecom, mineradoras, operadores logísticos etc.

Empresas de consultoria empresarial que trabalha com grandes empresas nacionais e multinacionais

Empresas de gestão de recursos financeiros através de estratégias baseada em cenários macroeconômicos e controle de risco

Empresas de consultoria na área de finanças.

Carreira acadêmica prosseguindo com mestrado e doutorado em Administração de empresa e subsequente carreira executiva.

3 FUNÇÃO RECEITA DEMANDA, OFERTA E CUSTO.

01 - FUNÇÃO RECEITA DO 1º GRAU - )(xR 1º CASO – PREÇO FIXO DE VENDA

Na atividade operacional de uma empresa diversos fatores contribuem para a formação da receita proveniente do volume de vendas. Fatores como volume da produção e potencial de mercado não podem ser esquecidos na formação da receita: porem em pequenos intervalos, onde já foram consideradas as variáveis restritivas, e considerando-se o preço constante nesse intervalo de produção, o rendimento total da empresa ou receita total, será função, somente, da quantidade vendida. Supondo que sejam vendidas “x” unidades do produto, o que se recebe pela venda efetuada é chamado função receita de vendas e pode ser representada genericamente por:

xPxR.)(  x

Onde: P = Preço fixo por unidade vendida ( P maiúsculo) x = Quantidade vendida de produtos ou serviços

02 – FUNÇÕES RECEITA MÉDIA )(xmeR – É a relação entre a Receita pela

quantidade x de produtos ou serviços vendidos, ou seja, x

Observe que a Receita média é sempre igual ao preço de venda do produto

03 - Função Receita Marginal -)()(xmgR

Seja R(x) a função receita de vendas de x unidades de um produto. Chamamos de receita marginal à derivada de R(x) em relação à x, e representam o efeito causado por uma pequena variação de x quantidades vendidas do produto, ou seja, a receita marginal é aproximadamente igual à variação da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de x

unidades e indicamos a por: )()()1()(xRxRxRxmgR

EXEMPLOS 01 - Se uma empresa tem um preço unitário de venda de seu produto de R$ 5.0,0 e se não vender nenhuma unidade, sua receita será zero; se vender dez unidades, seu rendimento total será R$ 50.0,0. Vê-se que a função receita, para diferentes quantidades vendidas, pode ser também representada por uma função linear que passa pela origem e tem como declividade o preço de venda. Portanto, a sua função Receita será:

:

Observe que a função receita é uma função linear do 1º grau e que, portanto o gráfico é uma reta que passa sempre pela origem do sistema cartesiano.

2.1) A função Receita:)(xR = 7,0.x

02 - Um produto é vendido por R$ 7,0 à unidade. Determine:

2.2 – O gráfico correspondente para uma venda de 10 unidades do produto. Veja que atribuindo dois valores arbitrários a x = 0 e x = 10 termos:

:

x (quantidade) x (quantidade) 10 0

Veja a tabela abaixo, para a receita de x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Unidades

5 vendidas.

x R = 7.x x R = 10.x x R = 25.x

2.3) Se)(xR = 7,0.x, quantas unidades do produto devem ser vendidas para que a Receita seja de R$ 28.0,0?

Se )(xR = 7,0.x Temos que P/ )(xR = 28.0,0  28.0,0 =

7,0.x 

x  x = 4.0 unidades

2º CASO: O PREÇO PODE SER MODIFICADO COM CONSEQUENTE VARIAÇÃO DE DEMANDA DE MERCADO – FUNÇÃO RECEITA DO 2º GRAU.

Vimos anteriormente como obter a função receita do 1º grau considerando o preço fixo. Daqui por diante veremos também alguns exemplos de como obter a função receita quadrática pela venda de x unidades do produto, quando o preço pode ser modificado, com conseqüente variação de demanda do mercado, pois quanto menor o preço, maior será a demanda ou procura desse produto, o qual será mais especificamente mostrado mais adiante no estudo de função demanda e função oferta.

01 – Numa empresa o preço de venda do seu produto é dado pela função

20()pxx para x < 20. Determine:

1.1) A função receita 1.2) O gráfico da função receita 1.3) O nível de produção que maximiza a receita 1.4) A receita máxima da empresa 1.5) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva 1.6) A função receita média 1.7) A função preço de venda do produto 1.8) ) O preço máximo de venda do produto 1.9) A função receita marginal 1.10) O gráfico da função receita média e marginal num mesmo sistema cartesiano 1.1) Qual o menor nível de produção para que a receita seja de R$ 75,0 1.12) É viável para o empresário um nível de produção que anule a receita da empresa?

RESOLUÇÃO 1.1. Para P = 20 – x, temos:

1.2. Gráfico da função Receita: Como se trata de uma função quadrática temos: a) Cálculo dos zeros da função - Os zeros da função quadrática que correspondem aos valores de IRx para os quais a função se anula, graficamente corresponde aos pontos em que a parábola intercepta o eixo das abscissas ou eixo Ox, cujas raízes podem ser calculadas pela fórmula de

Báskara dado por a acbbx 2

42 . Para a função receita dada por

R x x x x x x x b) Cálculo do Vértice da parábola

Portanto o vértice da parábola será: (10:100)V c) Cálculo dos interceptos

São os pontos de intersecção do gráfico de uma função com os eixos das abscissas (eixo x) e o eixo das ordenadas (eixo y), ou seja:

Coordenadas com o eixo das ordenadas ( 0 ; y)

P/

R x x x x x x x

Portanto os interceptos são: Coordenadas dos eixos das ordenadas ( 0 ; 0 ) e

Coordenadas dos eixos das abscissas (0 ; 20). O gráfico da função receita será:

1.3) O nível de produção que maximiza a receita O nível de produção que maximiza a receita é para 10x unidades

1.4) A receita máxima da empresa A receita máxima é dada pelo nível de produção de 10 unidades. Portanto:

Outra maneira de calcularmos a receita máxima de produção da empresa:

R x y f x x x f fv v v v f R x

1.5) Qual o intervalo de produção que proporciona uma receita positiva O nível de produção que maximiza a receita é para 020x unidades 1.6) A função receita média

R x xme

)( xxRxxxxx

Obs. A receita média é sempre uma função decrescente e igual ao preço de venda desse produto. 1.7) A função preço de venda do produto

A função preço de venda do seu produto é dada pela função 20()pxx para x < 20. 1.8) ) O preço máximo de venda do produto

O preço máximo que os consumidores estão dispostos a pagar é para o nível de produção de x = 10 unidades. Portanto:

1.9) A função receita marginal Se a receita marginal é a derivada de R(x) em relação à x, e indicamos a receita marginal por )()( xRxmgR .

Mesmo que nossa habilidade no cálculo de limites seja bastante boa, utilizar diretamente a definição para calcular derivadas de funções é uma tarefa um tanto quanto trabalhosa, que pode se transformar num processo penoso e

empregada no lugar de Função derivada ou de Derivada de uma função

cansativo. Para evitar este tipo de transtorno, precisamos estabelecer regras gerais que permitam, a partir de umas poucas derivadas conhecidas, derivar qualquer função que possa ser obtida a partir daquelas outras, por meio de operações elementares, isto é, adição, multiplicação por constante, multiplicação e divisão. A expressão DERIVADA é costumeiramente Doravante faremos uso dessas fórmulas ou regras com o principal objetivo, de transformar o processo de derivar funções em simples manipulações algébricas, o que torna esta tarefa menos penosa, ou, até mesmo, fácil e agradável.