MÉTODO DE LIQUIDAÇÃO DE GAUSS

Resumo

Neste trabalho será apresentado o método da eliminação de Gauss que consiste em transformar o sistema linear original em um sistema linear equivalente, com a matriz dos coeficientes triangular superior, ou seja, Ax=b num outro A’x=b’, para isto são realizados operações elementares sobre linhas no sistema Ax=b transformando-o em um sistema escalonado equivalente e resolvendo-o por substituição reversa. Também será apresentada a fatoração LU por Gauss e Doolittle, Por esta técnica, uma matriz A é decomposta como o produto de duas matrizes L e U, sendo L uma matriz triangular inferior e U, uma matriz triangular superior, isto é: A = L.U. Desta forma, podemos reescrever o sistema Ax = b na seguinte forma: Ax = (L.U)x = L.(Ux) = b. Fazendo-se Ux = y podemos resolver o sistema

Ax = b.

Introdução

A resolução deste sistema pelo método de Gauss envolve duas fases distintas. A primeira, chamada de fase de eliminação, consiste em transformar o sistema dado em um sistema triangular superior. A segunda, chamada de fase de substituição, consiste em resolver o sistema triangular superior

través de substituições retroativas.

MÉTODO DA ELIMINAÇÃO DE GAUSS

Considere o sistema linear dado. Em primeiro lugar montemos a matriz aumentada

A11⋯A1n | B1⋮⋱⋮An1⋯Ann | Bn

1º Passo: A Matriz Aumentada

3x1 + 2x2 + 4x3 = 1

X1 + x2 + 2x3 = 2

4x1 + 3x2 – 2x3 = 3

Então a matriz aumentada ficará assim:

A = 324 | 1112 | 243-2 | 2

As três primeiras colunas desta matriz coincidem com as colunas da matriz do sistema e a última coluna é a dos termos da direita do sistema de equações lineares. Usaremos o pivoteamento, e explicarei em seguida como ela funciona.

A = 43-2 | 3324 | 1112 | 2

Pivoteamento

Se o pivô for um número nulo o procedimento e invalido ou se for próximo de zero dão origem a números muito grandes que originam aplicação dos erros de arredondamento. A dois tipos de pivoteamento, o parcial e o completo.

Pivoteamento Parcial

No início de cada interação, escolhe-se como pivô o maior elemento (em módulo) da coluna. Se assim houver troca-se as linhas por completa. EX:

0,00022 | 522 | 6

Com o pivoteamento ficará assim

22 | 60,00022 | 5

Pivoteamento Completo

Nesta estratégia, escolhe-se o elemento de maior módulo dentre todos os elementos ainda participando do processo de eliminação. EX:

103 | 6-3-57 | 7240 | 5

No caso, trocaríamos as colunas 1 e 3 e depois as linhas 1e 2.

A estratégia de pivoteamento completo e menos

empregada porque implica em grande esforço computacional.

Desenvolvimento

Explicado os métodos de pivoteamento voltemos à resolução da matriz.

2º Passo: Processo de Eliminação

Como A11 = 4≠0, este elemento será o nosso primeiro pivô. Define-se

Ø1=A31A11= -14 = 0,25, e calculam-se os outros elementos transformados da segunda linha segundo a regra acima.

A31=A31 - Ø31 A11 = 1-4(0,25) = 0

A32=A32 - Ø31 A12 = 1-3(0,25) = 0,25

A33=A33 - Ø31 A13 = 2-(-2(0,25))=2,5

A34=A34 - Ø31 A14 = 2-3(0,25) = 1,25

Nova matriz → 43-2 | 3324 | 100,252,5 | 1,25

De outra parte defini-se Ø21=A21A11=34=0,75, e determinam-se os outros elementos transformados da 2ª linha.

A21=A21 - Ø21 A11 = 3-4(0,75) = 0

A22=A22 - Ø21 A12 = 2-3(0,75) = -0,25

A23=A23 - Ø21 A13 = 4-(-2(0,75)) = 5,5

A24=A24 - Ø21 A14 = 1-3(0,75) = -1.25

Nova matriz → 43-2 | 30-0,255,5 |-1,2500,252,5 | 1,25

Definimos Ø32=A32A22=0,25-0,25= -1, Assim, podemos determinar os elementos transformados na terceira linha.

A31=A31 - Ø32 A21 = 0 – 0(-1) = 0

A32=A32 - Ø32 A22 = 0,25 – (-0,25(-1)) = 0

A33=A33 - Ø32 A23 = 2,5 – 5,5(-1) = 8

A34=A34 - Ø32 A24 = 1,25 – (-1,25(-1)) = 0

Nova matriz → 43-2 | 30-0,255,5 |-1,25008 | 0

3º Passo: Fase de Substituição retrocedida

Temos obtido o seguinte sistema equivalente de equações lineares:

4x + 3y - 2z = 3

-0,25y + 5,5z = -1,25

8z = 0

Que é um sistema triangular isto é a matriz do sistema é uma matriz triangular superior, que pode ser resolvido, facilmente, por substituição das variáveis.

z= 80=0

E substituindo este valor na segunda equação

-0,25y + 5,5(0) = -1,25

-0,25y = -1,25 (-1)

Y = 1,250,25

Y = 5

Finalmente, substituindo estes valores, z=0, e y=5, na primeira equação.

4x