OS PRODUTOS NOTÁVEIS

OS PRODUTOS NOTÁVEIS

O que é preciso saber:

Os produtos notáveis que mais se destacam na álgebra são :

( a + b )² ; ( a – b )² ; ( a + b ) ( a – b ) ; (a + b )³ ; (a – b )³

Vamos desenvolver propiedade distributivas

[pic 1][pic 2][pic 3]

1) ( a + b )²  = ( a + b ) ( a + b )[pic 4][pic 5][pic 6]

    ( a + b )²  =  a² + ab + ab + b²

    ( a + b )²  =  a² + 2ab + b²

[pic 7][pic 8][pic 9]

2) ( a – b )²  =  ( a – b ) ( a – b )[pic 10][pic 11][pic 12]

    ( a – b )²  =  a² - ab –  ab + b²

    ( a – b )²  =  a² -2 ab  +  b²  

[pic 13][pic 14][pic 15]

3)   ( a + b ) ( a – b ) =  a² - ab + ab – b²

[pic 16][pic 17][pic 18]

     ( a + b ) ( a – b ) =  a² - b²

Obs : O conjugado de (a + b ) é  ( a – b ) e sempre quando os multiplicamos obtemos como resultado a diferença entre dois quadrados ( a + b ) ( a – b ) = a² - b²

4) ( a + b )³ = ( a + b )²  ( a + b )

[pic 19][pic 20][pic 21]

    ( a  + b)³ = ( a² + 2ab + b² ) ( a +b )

 [pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]

   ( a + b )³ =  a³ +  a²b  + 2a²b + 2ab²  +  ab²  + b³

    ( a + b )³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

MACETE

Para desenvolver (a + b )4     passo a passo

1º passo : coloque a e b elevado ao expoente nas extremidades assim :

     a4 .....................................................................b4 

2 º passo : entre  a4 e b4 coloque os produto ab ( n-1) vezes obtemos :

      a4 + ab + ab + ab + b4 

3º passo : decrescer os expoentes a4  até  a1  e crescer os expoentes b1  até  b4 veja :

 a4  + a³b1 + a²b² + a b + b4 

4º passo : coloque o expoente  ( 4 ) no coeficiente do termo seguinte e multiplique pelo valor do expoente de a³ e em seguida dividir pela quantidade de termos :

               a4 + 4a³ b1  + 6a²b² + 4 a1  b³  + 1b4 

[pic 26][pic 27][pic 28]

                4 x 3  = 6      6 x 2 = 4                4 x 1 = 1

                   2                  3                             4

então :

             ( a + b )3   = a4 + 4 a³b1 + 6a²b²  + 4 a1b³ + 1b1 

desenvolvendo agora ( a + b )5 

( a + b )5 =  a5 .........................................b5     

(a + b ) = a5 + ab + ab + ab + ab + b5   

( a + b ) =  a5  a4b1  a3b²  a²b³  a1b4 b5

( a + b ) = a5 + 5 a4b1 + 10a³b² + 10 a²b³ + 5 a1b4 + 1b5    [pic 29][pic 30][pic 31][pic 32]

5 x 4 = 10         10 x 3 = 10    10 x 2 = 5     5 x 1 = 1    

   2                        3                     4                  5

Obs : mesmo que entre os termos tenha sinal; no desenvolvimento do binômio coloque sempre o sinal de mais entre eles veja:

( a – b )³ = a³ + a² (-b )1 + 3 a1 (- b )² + (-b )³

                    3 x 2 = 3

                       2

( a – b ) = a³ - 3 a²b + 3 ab² - b³

Obs: elevar mentalmente o termo negativo ao respectivo expoente e faça o produto dos sinais

(a – b )² =  a²..............................(- b² )

(a – b )² = a² - 2ab + b²

GENERALIZANDO

(3x² + 2y)³ = ?

  a         b

(a + b )³ = a³ + 3 a²b + 3 ab² + b³

SUBTITUINDO   a = ( 3x² )    e     b = ( 2y )

( 3x² + 2y)³ = ( 3x² )³ + 3( 3x² )² (2y) + 3( 3x² )(2y ) + (2y)³

( 3x² + 2y) = 27x6 + 3 (9x4 )(2y) + 3 ( 3x²)(4y²) + 8y³

(3x² + 2y)³ = 27x6 + 54xy + 36x²y² + 8y³

IMPORTAMTÍSSIMO : SABER DESENVOLVER PRODUTOS NOTÁVEIS É ASSUNTO BÁSICO DE MATEMÁTICA; POR ISSO DESENVOLVÊ-LAS COM RAPIDEZ

Veja, desenvolver :

01- ( x + a )³ = ( x + a )² ( x + a )

      ( x + a )³ = ( x² + 2ax + a² ) ( x + a )

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