Os esquemas de capitalização são de interesse complexo

Regimes de Capitalização – Juros compostos

Os juros compostos se diferenciam dos juros simples no fato dela ter o processo de capitalização periódica.

Capitalização é incorporar os juros ao capital para cálculo dos juros do período seguinte. (É o chamado “juros sobre juros”).

Assim, nos juros compostos, os juros de cada período são calculados sobre o montante do final do período anterior.

Se aplicarmos um capital C por n meses a juros compostos a taxa i com capitalização mensal, teremos que os juros de cada período incidirão sempre sobre o montante do final do período anterior.

Temos:

Montante após 1 período:

M1 = C + C i = C(1 + i)

Montante após 2 períodos:

M2 = M1 + M1 i = M1(1 + i) = C(1 + i)(1 + i) = C(1 + i)2

Montante após 3 períodos:

M3 = M2 + M2 i = M2(1 + i) = C(1 + i)2(1 + i) = C(1 + i)3

...

Montante após n períodos:

Mt = Mt – 1 + Mt – 1 i = Mt – 1(1 + i) = C(1 + i)t – 1 (1 + i) = C(1 + i)t

Em resumo:

Mt = C(1 + i)t

A fórmula acima é indicada habitualmente sem o índice, escrevendo-se simplesmente:

M = C(1 + i)t

Observemos que, embora a fórmula acima tenha sido deduzida para t inteiro e não negativo, ela pode ser estendida para qualquer valor real não negativo. Além disso, o valor de deve ser expresso de acordo com a unidade de tempo da taxa. Por exemplo, se a taxa for mensal, t deve ser expresso em meses, se a taxa for anual, t deve ser expresso em anos.

O valor futuro calculado no regime de capitalização composta supera aquele obtido no regime de capitalização simples para períodos superiores à unidade. Para períodos menores que 1, o valor futuro, calculado mediante o emprego de juros simples, é maior.

Observação:

A taxa de juros (i) e o período (t) devem estar sempre na mesma base. Porém, no regime de juros compostos a taxa de juros nunca deve ser multiplicada ou dividida. O que deve ser feito é a alteração do período para a mesma base da taxa.

Da fórmula anterior podemos gerar outras fórmulas:

C = (Para determinar o capital)

i = – 1 (Para determinar a taxa)

t = (Para determinar o período)

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Um capital de R$ 5 000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 2% a.m. Qual o montante se os prazos de aplicação forem:

a) 5 meses

b) 2 anos

Resolução:

a) Seja C = 5 000, i = 0,02 e t = 5 meses, temos:

M = 5 000(1 + 0,02)5 = 5 000(1,02)5 = 5 520,40

b) Seja C = 5 000, i = 0,02 e t = 24 meses (pois t deve ser expresso em meses), temos:

M = 5 000(1 + 0,02)24 = 5 000(1,02)24 = 8 042,19

Resp. a) R$ 5 520,40 b) R$ 8 042,19

Observação:

Nesses cálculos, primeiro calculamos a potência usando as teclas yx ou xy de uma calculadora e, como resultado no visor, multplicamos pelo capital.

Caso tivéssemos calculado a potência arredondada para 4 casas decimais, por exemplo, e multiplicássemos o resultado pelo capital, teríamos um resultado ligeiramente diferente em virtude do arredondamento. Assim, no cálculo de 5 000(1,02)5, teríamos:

5 000(1,02)5 = 5 000 1,1041 = 5 520,50

Todavia, julgamos que essas pequenas diferenças por arredondamento não devem constituir motivo de preocupação, pelo menos nesta etapa da aprendizagem.

Exemplo 2: Qual o capital que deve ser aplicado a juros compostos durante 5 meses e à taxa de 1,5% a.m. para resultar em um montante de R$ 12 000,00?

Resolução:

Seja C o capital aplicado, e t = 5, i = 0,015 e M = 12 000. Aplicando a fórmula temos:

C =

C = = =

C = 11 138,96

Resp. O capital que deve ser aplicado é R$ 11 138,96.

Exemplo 3: Um capital de R$ 2 000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 4 meses, produzindo um montante de R$ 2 200,00. Qual a taxa mensal de juros de aplicação?

Resolução:

Seja i a taxa mensal procurada, e C = 2 000, t = 4 e M = 2 200. Devemos ter:

i = – 1

i = – 1 = (1,1)0,25 – 1

i = (1,1)0,25 – 1 = 1,0241 – 1

i = 0,0241 = 2,41% a.m.

Resp. Assim, a taxa mensal de juros da aplicação é 2,41%.

Exemplo 4: Um capital de R$ 7 000,00 foi aplicado a juros compostos à taxa de 18% a.a. Calcule o montante se o prazo for de 180 dias.

Resolução:

Temos C = 7 000, i = 0,18 e t = = 0,5 ano. Portanto: