Resumo Geometria Analítica

Geometria Analítica

Aulas 12.08 – 02.09

Vetores

[pic 1]= (Vx, Vy, Vz) =  = Vx[pic 3] + Vy[pic 4] + Vz[pic 5][pic 2]

[pic 6]= B – A  [pic 7]  A +[pic 8]= B

Comprimento de vetor V = Módulo de vetor V

|[pic 9]| = [pic 10]

Soma de Vetores

[pic 11]

[pic 12]

Subtração de Vetores

[pic 13]

Propriedades do Módulo

1. | c · [pic 14]| = |c| · |[pic 15]|
2. | |[pic 16]| - |[pic 17]| | ≤ |[pic 18]+[pic 19]| ≤ |[pic 20]| + |[pic 21]|
3. | |[pic 22]| - |[pic 23]| | ≤ |[pic 24]- [pic 25]| ≤ |[pic 26]| + |[pic 27]|

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Versor

[pic 28]= [pic 29]

Ex: O versor do vetor [pic 30]= 2[pic 31] + [pic 32] - 2[pic 33]

[pic 34]=  =  = [pic 38] + [pic 40] - [pic 42][pic 35][pic 36][pic 37][pic 39][pic 41]

Produto Escalar

[pic 43]·[pic 44]= [pic 45]·[pic 46] + [pic 47]·[pic 48] + [pic 49]·[pic 50]

[pic 51]·[pic 52]= |[pic 53]| · |[pic 54]| · cosθ

Θ = ângulo entre [pic 55] e [pic 56]

Propriedades do produto escalar

1. c·[pic 57] = [pic 58]·[pic 59]
2. [pic 60]· ([pic 61]± [pic 62]) = [pic 63]· [pic 64]± [pic 65]· [pic 66]
3. [pic 67]· (n[pic 68]) = n · ([pic 69]·[pic 70])
4. [pic 71]·[pic 72] = + [pic 73] 0° ≤ θ ≤ 90°

[pic 74]·[pic 75] = 0 [pic 76] θ = 90° ([pic 77] e [pic 78] são perpendiculares)

[pic 79]·[pic 80] = -  [pic 81]90° < θ ≤ 180°

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Projeção

• Caso 1  ([pic 82]=[pic 83] é unitário)

|| = |[pic 85]| · cosθ = |[pic 86]| · |[pic 87]| · cosθ = [pic 88]·[pic 89][pic 84]

 = || [pic 92] [pic 90][pic 91]

 = ([pic 94]·[pic 95]) [pic 96][pic 93]

• Caso 2  ([pic 97] não é unitário, [pic 98]= )[pic 99]

 = ([pic 101] · )  =  [pic 100][pic 102][pic 103][pic 104]

 =  [pic 107][pic 105][pic 106]

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Produto Vetorial

[pic 108]×[pic 109] = [pic 110]

Propriedades do produto vetorial

1. [pic 111] × [pic 112] = -[pic 113] × [pic 114]
2. [pic 115] × ([pic 116] ± [pic 117]) = [pic 118] × [pic 119] ± [pic 120] × [pic 121]
3. (n[pic 122]) × [pic 123] = [pic 124] × (n[pic 125]) = n ([pic 126] × [pic 127])
4. A = |[pic 128] × [pic 129]| = |[pic 130]| · |[pic 131]| · senθ

[pic 132]

A = base · altura = |[pic 133]| · h = |[pic 134]| · |[pic 135]| · senθ

5) [pic 136] × [pic 137] = 0 [pic 138]θ = 0° ou 180°

[pic 139][pic 140] e [pic 141]são paralelos ( [pic 142]) ou anti-paralelas ( [pic 143])

6)  [pic 144] × [pic 145] é perpendicular aos vetores [pic 146] e [pic 147], e aponta no sentido dado pela “regra da mão direita”: polegar apontado no sentido do 1º vetor ([pic 148]) e os demais dedos na direção do 2º vetor ([pic 149]), a palma da mão apontará no sentido de [pic 150] × [pic 151].

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