Teoria Transformada De La Place

RANSFORMADA DE LAPLACE

Histórico:

Pierre Simon de Laplace (1749-1827), matemático francês, desenvolveu os

Fundamentos da Teoria do Potencial e fez importantes contribuições à mecânica

celeste e à teoria das probabilidades. Em sua obra “Theórie Analitique”(1812)

apresenta a transformação que leva o seu nome, isto é, a Transformada de Laplace.

Objetivo: Resolver equações diferenciais lineares que surgem na matemática aplicada.

Aplicações: Circuitos elétricos; Condução de calor; Flexão de vigas; Problemas

econômicos.

ETAPAS DA RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA ATRAVÉS DA TRANSFORMADA

DE LAPLACE

Equação diferencial em t Solução da equação diferencial em t

Aplico a Transf. de Laplace Aplico a Transf. Inversa de Laplace

Equação algébrica em s Solução para f(s)

Vantagem de aplicar a Transformada de Laplace na resolução de equações diferenciais

é que encontramos a solução particular, sem determinarmos a solução geral, pois as

condições iniciais são incorporadas inicialmente na resolução da equação.

Definição: Seja F(t) uma função real definida para todos valores positivos de t. Se a

integral f ( s) = e- stF( t) dt ¥ ò0 existe, onde s = x + yj é uma variável complexa, a função

1

f(s) é chamada de “Transformada de Laplace da função F(t)” e é representada por

L( F( t) ) . Exemplo: F(t) = 1 então L( F( t) ) =L(1) =

1

s

.

Demonstração:

( )

( ) ]

( ) ]

( )

( )

( )

s

L

s s

L

s e s e

L

s e

L

e

s

L

L e dt

s s

st

st

st

1 1

1 1 0 1 1

1 1 1 1 1

1 1 1

1 1

1