Valores e Vectores Próprios
Por: Cipriano Da Silva • 26/5/2016 • Trabalho acadêmico • 3.533 Palavras (15 Páginas) • 613 Visualizações
Índice Pag.
Introdução
VALORES E VECTORES PRÓPRIOS
1. Valores próprios e vectores próprios de transformações lineares
2. Valores próprios e vectores próprios de matrizes
3. Determinação dos valores próprios de uma matriz
4. Multiplicidade de um valor próprio de uma matriz
5. Subespaço próprio associado ao valor próprio
6. Diagonalização de uma matriz
Conclusão
Bibliografia
Introdução
O presente trabalho ira abordar acerca dos Valores e Vectores Próprios, em que entre eles podemos citar alguns conteúdos: as transformações lineares, a determinação, a multiplicidade, e a diagonalização dos valore e vectores próprios.
Em diversas áreas das engenharias e das ciências surge a necessidade de resolver problemas de valores próprios: na análise de reacções químicas, o problema de valores e vectores próprios pode resultar da simulação numérica destas reacções; na análise dinâmica, permitindo o cálculo de modos e frequências naturais de vibração da estrutura, passo importante para a sua análise pelo método da sobreposição modal; na análise de instabilidade, permitindo determinar formas de encurvadura e respectivos factores de carga.
Antes de descrevermos o mais complexo sobre os Valores e Vectores Próprios, vamos explicar e examinar detalhadamente os caminhos mais gerais à se chegar a eles e onde aplicarmos matematicamente.
VALORES E VECTORES PRÓPRIOS
Valores próprios e vectores próprios de transformações lineares
Considere –se a transformação linear
[pic 1]
[pic 2]
A expressão não nos dá muita informação sobre um possível “significado geométrico” de . Consideremos, no entanto, as imagens dos vectores e . Tem-se e se . É agora muito simples de descrever o efeito de em qualquer vector desde que se conheçam as suas coordenadas na base :[pic 3][pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11]
se tem-se [pic 12][pic 13]
Fazendo uma “ mudança de eixos” da base canónica para a base, o “ significado geométrico” de é agora visível.[pic 14][pic 15]
De uma forma geral, dada uma transformação linear de um espaço nele próprio, tem interesse descobrir vectores que são transformados em múltiplos deles mesmos.
Definição 1. Seja um espaco vectorial sobre um corpo e seja uma transformação linear. Um escalar diz-se um valor próprio de se existir um vector não nulo satisfazendo . Nestas condições diz-se um vector próprio de associado a .[pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25]
Assim, no exemplo acima, os números 2 e 4 são valores da transformação linear indicada. O vector é um vector próprio de associado ao valor próprio 2 e o vector é um vector próprio de associado ao valor próprio 4.[pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30]
Valores próprios e vectores próprios de matrizes
Definição 2. seja uma matriz sobre um corpo . Um escalar diz-se um valor próprio de se existir um vector não nulo satisfazendo Nestas condições diz-se um Vector próprio de associado a .[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37][pic 38][pic 39][pic 40]
Exemplos 1. , pelo que é vector próprio de associado ao valor próprio .[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44]
pelo que é vector próprio de associado ao valor próprio .[pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]
Determinação dos valores próprios de uma matriz
Pretende-se determinar para o qual exista tal que . Tem-se que:[pic 49][pic 50][pic 51]
[pic 52]
[pic 53]
[pic 54]
[pic 55][pic 56]
A expressão (1) é um sistema homogéneo cuja matriz é : Como se procura uma solução , o sistema tem de ter soluções não nulas, isto é, tem de ser indeterminado. É sabido que um sistema homogéneo é indeterminado se e só se a característica da matriz do sistema é menor que ou, ainda, se o determinante da matriz é nulo. Assim, os valores próprios da matriz são os valores tais que ou tais que . É esta última equação, chamada equação característica de A, que se utiliza para o cálculo dos valores próprios. O determinante de é um polinómio denominado polinómio característico da matriz definida: [pic 57][pic 58][pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65][pic 66]
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