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Função cotangente

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Como a cotangente não existe para arcos da forma (k+1)[pic 1] onde k é um inteiro, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função cotangente como a relação que associa a cada x real, a cotangente de x, denotada por:

f(x)=cot(x)=

cos(x) sen(x)

Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2[pic 2]].

x	0	[pic 3]/4	[pic 4]/2	3 [pic 5]/4	[pic 6]	5[pic 7]/4	3[pic 8]/2	7[pic 9]/4	2[pic 10]
y	não existe	1	0	-1	não existe	1	0	-1	não existe

Gráfico: O segmento Os' mede cot(x).

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[pic 11]

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Observando no gráfico o que ocorre quando a medida do arco AM está próxima de [pic 12] (ou -[pic 13]), podemos verificar que o gráfico da função cotangente cresce muito ra[pic 14]damente, pois a reta que passa por OM vai ficando cada vez mais horizontal e a sua interceção com a reta s vai se tornando muito longe.

Propriedades

1. Domínio: Como a função seno se anula para arcos da forma [pic 15]+k[pic 16], onde k em Z, temos

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Dom(cot)={x em R: x é diferente de (k+1)[pic 17]}

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1. Imagem: O conjunto imagem da função cotangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
2. Periodicidade A função é periódica e seu período é [pic 18]

Para todo x em R, sendo x diferente de [pic 19]+k[pic 20], onde k em Z

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cot(x)=cot(x+[pic 21])=cot(x+2[pic 22])=...=cot(x+k[pic 23])

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A função cotangente é periódica de período fundamental 2[pic 24].

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[pic 25]

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1. Sinal:

Intervalo	[0,[pic 26]/2]	[[pic 27]/2,[pic 28]]	[[pic 29],3[pic 30]/2]	[3[pic 31]/2,2[pic 32]]
Função tangente	positiva	negativa	positiva	negativa

2. Monotonicidade: A cotangente é uma função sempre decrescente, exceto nos pontos x=k[pic 33], k inteiro, onde a função não está definida.

1. Limitação: A função cotangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de k[pic 34]/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.

1. Simetria: A função tangente é ímpar, pois para todo x real, tem-se que:

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cot(x)=-cot(-x)

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