A introdução de restrições

Introdução sobre limite.

O conceito de limite é uma das idéias que distinguem o calculo da álgebra e da trigonometria. Veremos nessa aula como definir e calcular os limites de funções. A maioria dos limites pode ser obtida por substituição, analise gráfica, aproximação numérica, álgebra ou alguma combinação dessas.

A noção de limite nos fornece um caminho preciso para verificar como as funções variam continuamente. Também usamos limites para definir retas tangentes à gráficos de funções e posteriormente a derivada de uma função. A derivada que veremos adiante, fornece um caminho para quantificar a taxa a que valores de uma função variam a cada instante.

O que é limite de uma função?

A definição de limite é utilizada no intuito de expor o comportamento de uma função nos momentos de aproximação de determinados valores. O limite de uma função possui grande importância no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática, definindo derivadas e continuidade de funções.

Dizemos que uma função f(x) tem um limite A quando x → a (→: tende), isto é,

, se, tendendo x para o seu limite, de qualquer maneira, sem atingir o valor a, o módulo de f(x) – A se torna e permanece menor que qualquer valor positivo, predeterminado, por menor que seja.

Propriedades dos Limites

1ª)

O limite da soma é a soma dos limites.

O limite da diferença é a diferença dos limites.

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2ª)

O limite do produto é o produto dos limites.

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3ª)

O limite do quociente é o quociente dos limites desde que o denominador não seja zero.

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4ª)

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5ª)

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6ª)

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7ª)

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8ª)

Como calcular taxa média de variação?

O quociente é denominado razão média das variações ou taxa de variação média e normalmente depende do particular ponto x0 e da variação Dx considerada. Ao considerar o acréscimo Dx, podemos tomar Dx>0, obtendo [x0, x0+Dx] como sendo o intervalo no qual x varia; ou tomando Dx<0, obtemos o intervalo de variação [x0+Dx, x0]. Em ambos os casos, é possível calcular .

O conhecimento da taxa média de variação não nos fornece uma quantidade razoável de informações para podermos decidir como a variável dependente se comporta em relação à variável independente em um ponto específico. Para tanto, o conhecimento da taxa de variação em cada ponto do domínio será muito mais eficaz.

Como calcular taxa instantânea de variação?

O limite destas taxas médias de variação, quando , é chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x, em x = x0. Assim temos:

Porém o

Portanto, a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto é dada pela sua derivada neste ponto.

Se , então a taxa