Trabalho Completo ESTATISTICA

ESTATISTICA

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Categoria: Tecnologia

Enviado por: franciscoadirsm 08 maio 2013

Palavras: 2256 | Páginas: 10

INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA

PRINCIPAIS CONCEITOS

ESTATÍSTICA: Trata do conjunto de métodos utilizados para a obtenção de dados, sua organização em tabelas e gráficos e a análise desses dados.

População Estatística ou Universo Estatístico: é o grupo que vai ser estudado.

A população estatística pode ser finita ou infinita. Mesmo a população finita, às vezes, se mostra inviável para análise, por ser muito numerosa, nestes casos recorremos a um subconjunto dessa população, a qual denominamos de Amostra. Por exemplo, a população de um país, quando se quer fazer uma projeção sobre o desempenho dos candidatos para uma eleição.

Distribuição Estatística: Escolhida uma característica estatística sobre os elementos estudados, devemos elaborar uma tabela de dados que recebe o nome de Distribuição Estatística.

Unidade Estatística: cada elemento da população estatística que está sendo estudado.

Freqüência Absoluta: (fi) do valor (xi)Característica estudada, é o número de vezes que a variável estatística assume o valor de (xi).

Freqüência Absoluta Acumulada (fac): os valores são obtidos adicionando-se a cada freqüência absoluta os dados das freqüências anteriores.

Freqüência Relativa (fr): é o quociente entre a freqüência absoluta e o número de elementos da população estatística. Fr =

EXEMPLOS

1) Consideremos o quadro seguinte que nos mostra as notas dos alunos de uma 8ª. Série de um colégio, obtidas numa prova de Matemática.

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

nota 5,0 4,0 6,0 8,0 3,0 5,0 7,0 6,0 8,0 4,0 6,0 9,0 7,0 5,0 7,0 5,0 6,0 8,0 7,0 9,0 4,0 6,0 6,0 8,0 7,0

Neste caso temos:

População Estatística: é o grupo dos 25 alunos desta 8ª. Série.

Unidade Estatística: cada aluno dessa série.

Variável Estatística: as notas dessa prova de matemática.

A partir destes dados podemos elaborar a seguinte tabela.

Notas

(xi) Número de alunos (fi)

0 Nenhum:o

1,0 0

2,0 0

3,0 1

4,0 3

5,0 4

6,0 6

7,0 5

8,0 4

9,0 2

10,0 0

N=25

A partir destes dados podemos elaborar outra tabela contendo a freqüência absoluta acumulada, basta inserirmos mais uma coluna.

Notas

(xi) Número de alunos (fi) Freqüência acumulada (fac.)

0 Nenhum: 0 0

1,0 0 0

2,0 0 0

3,0 1 1

4,0 3 1+3 =4

5,0 4 4+4=8

6,0 6 8+6=14

7,0 5 14+5=19

8,0 4 19+4=23

9,0 2 23+2=25

10,0 0 25

N=25 N = 25

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Em uma Escola, o conceito de cada bimestre é representado por letras: A,B,C,D, e E. Em um determinado bimestre, os conceitos dos alunos da 6ª série M em Ciências foram os seguintes:

Disciplina: Ciências

Número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Conceito B A C C D C D A A C E D D C B C B C C B

Nessas condições, elabore um quadro de distribuição de freqüências absolutas e freqüências absolutas acumuladas.

CONCEITO (xi) FREQ. ABSOLUTA (fi) FREQ. ABS. ACUMULADA (fac)

A

B

C

D

E

TOTAL

2) Um dado foi lançado 15 vezes, obtendo-se os seguintes pontos: 2,5,6,6,1,4,2,6,5,1,3,3,2,4,6. Construa uma tabela de distribuição de freqüências absolutas e freqüências absolutas acumuladas.

Número possível (xi) (fi) (fac)

Total N = N =

3) Os pesos, em quilos, dos 20 funcionários de uma empresa são: 72,72,80,88,84,72,76,80,92,72,76,80,84,72,68,76,80,72,88,76. Construa uma tabela de distribuição de freqüências absolutas e freqüências absolutas acumuladas. (sugestão: utilize como extremos o menor e o maior valor)

Valor do Peso (xi) Número de func. (fi) Freq. Acumulada (fac)

Total N = N =

FREQÜÊNCIA RELATIVA E FREQÜÊNCIA RELATIVA ACUMULADA

EXEMPLOS

Frel =

1) Consideremos o quadro seguinte que nos mostra as notas dos alunos de uma 8ª. Série de um colégio, obtidas numa prova de Matemática.

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

nota 5,0 4,0 6,0 8,0 3,0 5,0 7,0 6,0 8,0 4,0 6,0 9,0 7,0 5,0 7,0 5,0 6,0 8,0 7,0 9,0 4,0 6,0 6,0 8,0 7,0

O quadro abaixo foi utilizado no primeiro exercício e, retiradas as três primeiras linhas pois não há nenhum aluno com notas 0; 1,0 ou 2,0.

Notas

(xi) Número de alunos (fi) Freqüência acumulada (fac.) Freq. Relativa (fr) Freq. Relativa Acumulada (fr ac)

3,0 1 1

4%

4,0 3 1+3 =4

16%

5,0 4 4+4=8

32%

6,0 6 8+6=14

56%

7,0 5 14+5=19

76%

8,0 4 19+4=23

92%

9,0 2 23+2=25

100%

10,0 0 25 100%

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Um dado foi jogado 20 vezes sendo obtidos os seguintes pontos:

1,5,6,5,2,2,2,4,6,5,2,3,3,1,6,6,5,5,4,2 Elabore um quadro com distribuição de freqüências absolutas, freqüências absolutas acumuladas, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas.

Observando a tabela responda:

a) Quantas vezes o número 2 foi obtido no jogo do dado?

b) Quantas vezes o número obtido no dado foi menor que 5?

c) Qual índice em % em que o número 6 foi obtido?

d) Qual índice em % em que números maiores que 4 foram obtidos ?

Valor obtido (xi) Freq. Abs.(fi) Freq. Abs. Ac

(fac) Freq Rel (fr) Freq. Rel. Ac. (fra)

2) A tabela abaixo mostra a média dos 25 alunos da 1ª série do Ensino Médio de um determinado colégio, em Física, no primeiro bimestre de um determinado ano.

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

nota 4,0 7,0 5,0 5,0 5,0 4,0 9,0 4,0 5,0 6,0 6,0 7,0 6,0 6,0 5,0 4,0 4,0 8,0 7,0 6,0 6,0 8,0 5,0 5,0 8,0

Tomando por extremos a menor e a maior nota, elabore um quadro com distribuição de freqüências absolutas, freqüências absolutas acumuladas, freqüências relativas e freqüências relativas acumuladas.

Nota (xi) (fi) (fac) (fr) (fra)

MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (OU DE CENTRALIZAÇÃO) E MEDIDAS DE DISPERSÃO.

Para analisarmos uma dada população estatística, temos que recorrer a determinados parâmetros que representam de forma precisa as propriedades de distribuição de freqüências; para tanto, geralmente utilizamos as Medidas de Tendência Central: Média Aritmética Simples, Média Aritmética Ponderada, Mediana e Moda e as Medidas de Dispersão: Desvio Médio, Variância e Desvio Padrão.

1- MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL (OU DE CENTRALIZAÇÃO)

1.1- Média Aritmética Simples: A média aritmética simples ( ) dos valores x1, x2, x3,....xn é o quociente entre a soma desses valores e o seu número total (N). = ou seja: =

EXEMPLO: Uma livraria vende as seguintes quantidades de livros de literatura durante uma certa semana. Qual foi a média de livros vendidos durante essa semana?

2ª. feira 3ª. feira 4ª. feira 5ª. feira 6ª. feira sábado

22 23 22 27 25 13

=

=

= 22

1.2- Média Aritmética Ponderada: A média aritmética Ponderada difere da Média Aritmética Simples, pois alguns dos valores x1, x2, x3,....xn se repetem, fato que facilita o seu cálculo que, do mesmo modo que a anterior é o quociente entre a soma de todos esses valores e o seu número total (N).

= ou seja: =

EXEMPLO: O quadro de distribuição de freqüências representa os salários mensais de 40 empregados de uma firma. Calcule o salário médio mensal desses empregados.

Classe em Reais (xi) Ponto Médio da classe (xi) Freq. (fi)

[180,200[ 190 4

[200,220[ 210 18

[220,240[ 230 10

[240,260[ 250 5

[260,280[ 270 3

=

=

=

=222,50

1.3- MEDIANA: é o valor que ocupa a posição central de um conjunto de valores, colocados em ordem crescente ou decrescente de grandeza. Devemos portanto, considerar duas situações: o número de valores é par ou, o número de valores é impar.

EXEMPLO: (O número de dados é impar)

As nove classes de 3º. Ano do Ensino Médio de uma Escola têm respectivamente: 37, 28, 40,41,45,37,37, 41 e 44 alunos. Calcule a mediana.

RESOLUÇÃO:

2k +1 = 9 Se k=4, isto significa que teremos 4 valores à

2k = 9 – 1 direita e 4 valores à esquerda da mediana, ou

2k = 8 seja a mediana ocupará a 5ª. posição.

k=

k=4 28, 37, 37, 37, 40, 41, 41, 44, 45

logo Md = k +1 5ª. posição

Md = 5ª posição

EXEMPLO (O número de dados é par)

Neste caso a mediana é a Média Aritmética dos dois termos centrais.

As dez classes de 3º. Ano do Ensino Médio de uma Escola têm respectivamente: 37, 28, 40,41,45,37,37, 41, 43 e 44 alunos. Calcule a mediana.

RESOLUÇÃO

Ordenando aos dados temos: 28, 37, 37, 37, 40,41, 41,43, 44, 45

2k = 10 Se k=5, k+ 1 será 5+1=6, tomaremos portanto o 5º

k = e o 6º valor e calcularemos a média aritmética

k=5 entre eles.

Md= Md= Md= 40,5

1.4- MODA: Moda de um conjunto de valores é o valor que aparece o maior número de vezes, ou seja a característica com maior freqüência absoluta.

EXEMPLO: Na seqüência anterior 28, 37, 37, 37, 40,41, 41,43, 44, 45 a moda será o número 37.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Foi feita uma pesquisa para saber o número de irmãos que cada um dos 30 alunos de uma classe possui, obteve-se o seguinte quadro. Calcule a média aritmética, a mediana e a moda.

0 2 3 2 1 2 2 1 1 2 1 2 0 1 2

0 2 2 3 4 2 3 1 3 2 5 2 4 4 2

Organizando os dados temos:

Número de irmãos (xi) Freq.

(fi)

0

1

2

3

4

5

2) Calcular a média dos seguintes valores: 27,27,30,30,30,30,30,32,32,32. Resp.30

3) As alturas dos jogadores de uma equipe de basquete são: 1,98m;2,02m; 2,08m; 1,92m;1,95m. Qual é a média de altura dessa equipe? Resp:1,99m

4) A tabela nos dá uma distribuição de freqüências. Calcule a média dessa distribuição. Resp. 22,9

xi fi

10 8

20 11

30 7

40 5

5) No quadro abaixo temos as idades dos 20 alunos que estudam na 2ª. Série do Ensino Médio de uma Escola. Faça um quadro completo de distribuição de freqüências. Calcule a média dessa seqüência. Resp: = 15,45

15 15 14 16 16 16 17 16 14 15

15 15 16 16 16 17 16 15 14 15

2-MEDIDAS DE DISPERSÃO

2.1- DESVIO MÉDIO (Dm): é calculado pela média aritmética dos valores absolutos dos desvios.

Dm=

Dm=

2.2- VARIÂNCIA vAR: É a média aritmética dos quadrados dos desvios médios.

Var=

Var=

2.3-DESVIO PADRÃO (S): o desvio padrão (S) é utilizado para representar a dispersão dos valores, sendo calculado pela raiz quadrada da variância.

S=

EXEMPLO:

A tabela abaixo nos mostra uma série de partidas de futebol e o respectivo saldo de gols por partida.Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão.

jogos 1 2 3 4 5 6

No de gols 5 0 11 3 4 1

RESOLUÇÃO

Cálculo da média aritmética

=

=

= 4

cálculo do desvio médio

Dm =

Dm=

Dm=

Dm 2,6

Cálculo da variância

Var=

Var=

Var=

Var 12,6

Cálculo do desvio padrão (S)

S=

S=

S 3,5