Trabalho Completo Métodos Quantitativos Aplicados Na Gestão Empresarial

Métodos Quantitativos Aplicados Na Gestão Empresarial

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Categoria: Negócios

Enviado por: boasafra1 05 outubro 2013

Palavras: 3864 | Páginas: 16

MARCELO FRANCISCO NOGUEIRA

São Paulo

2006

MÉTODOS QUANTITATIVOS

Seminário apresentado na disciplina Métodos Quantitativos do programa de

Mestrado em Ciências Contábeis do Centro Universitário Álvares Penteado.

SUMÁRIO

LISTA DE TABELAS................................................................................................3

2 INTRODUÇÃO......................................................................................................5

3 ESTATÍSTICA DESCRITIVA ................................................................................7

3.1 POPULAÇÃO E AMOSTRA...........................................................................7

3.1.1 Rol...............................................................................................................8

3.2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL..........................................................9

3.2.1 Média Simples.............................................................................................9

3.2.2 Média Ponderada......................................................................................11

3.2.3 Mediana ....................................................................................................12

3.2.4 Moda .........................................................................................................12

3.3 MEDIDAS DA DISPERSÃO.........................................................................13

3.3.1 Amplitude Total .........................................................................................14

3.3.2 Variância ...................................................................................................14

3.3.3 Desvio Padrão...........................................................................................16

3.3.4 Coeficiente de Variação ............................................................................16

3.6 DIAGRAMA DE FREQUÊNCIA....................................................................17

3.6.1 Intervalos de classe...................................................................................18

3.6.2 Representação gráfica ..............................................................................19

3.7 DADOS AGRUPADOS.................................................................................20

3.7.1 Média ........................................................................................................21

3.7.2 Mediana ....................................................................................................21

3.7.3 Moda .........................................................................................................22

3.7.4 Variância e desvio padrão.........................................................................22

4 PROBABILIDADE...............................................................................................24

4.1 EVENTOS ALEATÓRIOS ............................................................................25

4.2 CÁLCULO DE PROBALIDADES .................................................................25

4.3 PROBABILIDADE DOS EVENTOS..............................................................29

4.3.1 Teorema da soma - eventos mutuamente excludentes.............................29

4.3.2 Teorema da soma - eventos não mutuamente excludentes......................30

4.3.3 Teorema da multiplicação - eventos independentes .................................31

4.3.4 Teorema da multiplicação - eventos dependentes (probabilidade

condicional) ........................................................................................................32

2

4.3.5 Teorema de Bayes - (teorema da probabilidade das causas ou partições)

...........................................................................................................................33

4.3.6 Síntese......................................................................................................36

4.4 AMOSTRAGEM ...........................................................................................37

4.4.1 Amostragem sem reposição......................................................................37

4.4.1 Amostragem com reposição......................................................................38

5 ANÁLISE COMBINATÓRIA ................................................................................39

5.1 Arranjos simples...........................................................................................39

5.2 Combinações simples ..................................................................................40

5.3 PERMUTAÇÃO SIMPLES ...........................................................................41

6 CONCLUSÃO.....................................................................................................43

7 BIBLIOGRAFIA...................................................................................................44

3

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Dados Brutos ................................................................................................8

Tabela 2 – Rol.................................................................................................................9

Tabela 3 – Média Ponderada........................................................................................11

Tabela 5 – Amplitude Total ...........................................................................................14

Tabela 6 – Variância Série B ........................................................................................15

Tabela 7 – Variância Série C ........................................................................................15

Tabela 8 – Desvio Padrão ............................................................................................16

Tabela 9 – Coeficiente de Variação ..............................................................................17

Tabela 10 – Distribuição de freqüência.........................................................................17

Tabela 11 – Distribuição de freqüência AKI-SE-TRABALHA........................................19

Tabela 12 – Dados agrupados ajustados .....................................................................21

Tabela 13 – Probalidades, alguns exemplos ................................................................26

4

1 RESUMO

A Estatística é ferramenta gerencial utilizada há séculos, porquanto

o homem sempre teve o desejo de mensurar, descrever fenônemos numéricos e

procurar conceber o que ocorreria no futuro.

A estatística descritiva, seja por meio da representação tabular ou da

representação gráfica ajuda a entender melhor os dados colhidos em uma

determinada pesquisa.

Já, a estatística indutiva, surgiu com a curiosidade humana a

respeito dos jogos, sobretudo os jogos de azar, quando alguém se perguntava: qual

a chance de ganhar?

Hoje, essas ferramentas constituem parte indissociável de qualquer

processo decisorial, servindo, no aspecto descritivo, como elemento de melhora da

qualidade das informações e, no aspecto indutivo, como meio de economia e

otimização de tempo, porquanto permite inferir sobre uma população a partir de uma

amostra.

5

2 INTRODUÇÃO

Também chamada de métodos quantitativos a estatística encontrase

presente em nosso dia a dia em praticamente todos os instantes. Assim é quando

alguém questiona quantos quilômetros determinado veículo percorre com um litro de

combustível, qual a taxa de nascimento ou de mortalidade, qual a chance de ganhar

na loteria ou mesmo de chover em determinado dia.

Não é diferente no meio empresarial, onde os métodos quantitativos

são utilizados como verdadeiras ferramentas de gestão. Assim é que em todos os

telejornais há indicação da variação dos índices das Bolsas de Valores e da cotação

do Dólar, normalmente representadas por meio de gráficos e tabelas.

COSTA1 esclarece que a primeira vez em que o verbete statistics

(estatística) apareceu na Enciclopédia Britânica foi em 1797. MEDRI2, complementa,

aduzindo que o termo que deriva do latim status refere-se a Estado, ou,

precisamente, às descrições e dados relativos aos Estados, tornando a Estatística

um meio de administração para os governantes.

Segundo STEVENSON3 a estatística compreende a estatística

descritiva, a teoria da probabilidade e amostragem. Quando se fala em taxas e

índices como forma de resumo, organização e, em geral, simplificação de

informações que podem ser muito complexas, isto é, a dificuldade na descrição dos

dados obtidos, estamos diante da estatística descritiva. A análise de situações que

envolvem o acaso, tais como jogos de dados e cartas ou a maioria dos jogos

esportivos, faz com que nos encontremos com as probabilidades. Por fim, quando há

a análise e interpretação de dados amostrais entramos na área da amostragem ou

estatística indutiva.

O exemplo dado por STEVENSON (p. 2) é preciso: não é preciso

comer o bolo inteiro para saber se é bom. Essa uma grande finalidade da estatística:

economizar recursos e tornar mais ágeis e seguros os processos decisoriais.

______________

1 COSTA, Sérgio Francisco. Introdução Ilustrada à Estatística (com muito humor!). 2ª ed. São

Paulo: Harbra, 1992, p. 6.

2 MEDRI, Waldir. Métodos quantitativos aplicados à Contabilidade. Londrina: UEL, 2003, p. 1

3 STEVENSON, William J. Estatística aplicada à administração. 1ª ed. São Paulo: 1981, p.3

6

A Estatística é ferramenta indispensável de uma Pesquisa Científica,

sobretudo no que pertine à apresentação e análise dos dados coletados, de sorte a

justificar as conclusões obtidas.

7

3 ESTATÍSTICA DESCRITIVA

Descrever a informação advinda dos dados colhidos em uma

pesquisa é a finalidade da Estatística Descritiva. SPIEGEL4 aduz que, em sentido

mais restrito, o termo Estatística é usado para designar os próprios dados ou

números deles derivados como, por exemplo, médias.

O primeiro passo para que se possa caminhar em direção à

informação é organizar os dados, em conformidade com a população e/ou com a

amostra em estudo.

MEDRI (p. 1) ensina que na pesquisa científica coleta-se as

características de pessoas, animais, empresas, indústrias, sistemas de produção,

fenômenos físicos ou químicos, com a finalidade de verificar as hipóteses lançadas

sobre uma população. Essa coleta é feita com base em uma amostra, lembrando

aqui o ensinamento de STEVENSON.

3.1 POPULAÇÃO E AMOSTRA

População ou universo, corresponde a todo o grupo passível de

exame. SPIEGEL (p. 1) retrata que uma população pode ser finita ou infinita.

Destaca como exemplo que a produção de parafusos em uma fábrica em

determinado dia é uma população finita ao passo em que todos os resultados (cara

ou coroa) em sucessivos lances de uma moeda constituem uma população infinita.

Na conceituação de COSTA (p. 25), população é qualquer conjunto

de informações que tenham, entre si, uma característica comum. Importa, assim, a

variável estudada, seja ela qual for.

Amostra, por seu turno, é uma parcela retirada da população para

estudo, segundo uma técnica adequada, de sorte a caracterizar-se como

representativa. COSTA (p. 26) chega a dizer que a amostra nada mais é que uma

redução da população a dimensões menores, sem perda das características

essenciais.

______________

4 SPIEGEL, Murray. Estatística. 2ª ed. São Paulo: Mc Graw-Hill do Brasil, 1985, p. 1.

8

Exsurge daí o conceito de estatística indutiva posto que conclusões

atinentes à população podem ser inferidas ou deduzidas a partir da amostra.

As inferências daí decorrentes não expressam, necessariamente,

uma certeza absoluta, pelo que impõe analisar, também, o conceito de

probabilidade.

3.1.1 Rol

No aspecto descritivo da estatística, os dados brutos, ou seja,

aqueles obtidos diretamente da pesquisa, não permitem uma análise direta, daí

porque necessitam ser ordenados na forma de um rol.

Tomemos como exemplo os depósitos bancários feitos pela

empresa AKI-SE-TRABALHA, expressos em milhares de Reais, nos meses de

fevereiro e março de 20035

3,7 1,6 2,5 3,0 3,9 1,9 3,8 1,5 1,1

1,8 1,4 2,7 2,1 3,3 3,2 2,3 2,3 2,4

0,8 3,1 1,8 1,0 2,0 2,0 2,9 3,2 1,9

1,6 2,9 2,0 1,0 2,7 3,0 1,3 1,5 4,2

2,4 2,1 1,3 2,7 2,1 2,8 1,9

Tabela 1 – Dados Brutos

Pode-se conceituar rol como o arranjo dos dados brutos em ordem

crescente. A finalidade do rol é permitir, de maneira mais clara e concisa, a anáilise

dos dados, de sorte a visualizar o maior e o menor valor, a amplitude dos dados e os

elementos que se repetem.

Arranjando os dados da tabela anterior em ordem crescente, na

forma de rol, obtemos a disposição constante da Tabela 2.

______________

5 MEDRI, op. cit., p. 10.

9

0,8 1,0 1,0 1,1 1,3 1,3 1,4 1,5 1,5

1,6 1,6 1,8 1,8 1,9 1,9 1,9 2,0 2,0

2,0 2,1 2,1 2,1 2,3 2,3 2,4 2,4 2,5

2,7 2,7 2,7 2,8 2,9 2,9 3,0 3,0 3,1

3,2 3,2 3,3 3,7 3,8 3,9 4,2

Tabela 2 – Rol

3.2 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL

A média, assim como a mediana e a moda são medidas de

tendência central, ou seja, são usadas para indicar um valor que tende a tipificar, ou

a representar melhor, um conjunto de números, conforme ensina STEVENSON (p.

19).

COSTA (p. 56), por seu turno, prefere conceituar as medidas de

tendência central como estatísticas, cujos valores estão próximos do centro de um

conjunto de dados.

MEDRI (p. 22) prefere afirmar que as medidas de tendência central

são aquelas que produzem um valor em torno do qual os dados observados se

distribuem, e que visam sintetizar em um único número o conjunto de dados.

Essa última definição, que remete ao aspecto da distribuição dos

dados, parece ser a mais correta, porque as medidas de tendência, não

necessariamente representam melhor o conjunto, ao final de uma análise e porque a

noção de centro, não significa, necessariamente, proximidade.

3.2.1 Média Simples

Denomina-se como média simples ou média aritmética o resultado

da divisão da soma de todos os n valores amostrados pelo número de elementos

amostrados.

Em termos numéricos, pode-se representar a média da seguinte

forma:

10

média de uma mostra

n

x

x Σ =

média de uma população

N

Σx μ =

Utilizando-se os dados colhidos na empresa AKI-SE-TRABALHA6,

pode-se calcular a média da seguinte forma:

• Soma dos elementos = 98,70

• Número de elementos do rol = 43

• Média = 2,30

2,30

43

x = 98,70 =

STEVENSON (p. 20), discorrendo sobre a média apresenta suas

propriedades, quais sejam:

1. A média de um conjunto de números pode ser sempre calculada.

2. Para um dado conjunto de números, a média é única.

3. A média é sensível a (ou afetada por) todos os valores do conjunto. Assim, se

um valor se modifica, a média também se modifica.

4. Somando-se uma constante a cada valor do conjunto, a média ficará

aumentada do valor dessa constante. Assim, somando-se 4,5 a cada valor de

um conjunto, a média ficará aumentada de 4,5. Analogamente, subtraindo-se

cada valor do conjunto uma constante, ou multiplicando-se ou dividindo-se por

ela cada valor do conjunto, a média fica reduzida dessa constante, ou

multiplicada ou dividida por ela.

5. A soma dos desvios dos números dos números de um conjunto a contar da

média é zero.

______________

6 Conforme a tabela 2 do item 3.1

11

3.2.2 Média Ponderada

Na apuração da média simples, cada elemento observado e

constante do rol tem a mesma importância, ou, fazendo uma analogia com a média

ponderada, a importância é unitária, ou seja, todos os elementos tem importância

igual a 1.

Ao contrário, quando os elementos constantes do rol tem

importâncias diferentes há a necessidade de, primeiramente, ajustar os valores do

rol, conforme suas respectivas importâncias. Essas importâncias diferentes são

denominadas por SPIEGEL (p. 55) como fatores de ponderação ou pesos.

A média ponderada é representada com o uso da seguinte fórmula:

Σ

Σ

=

= =n

i

i

n

i

i i

w

w x

média

1

1

Exemplificando o uso da média ponderada, destacamos como

exemplo um aluno que realizou quatro provas e um exame final, sendo que as

provas 1 e 3 tem peso 1, as provas 2 e 4 possuem peso 2 e o exame final possui

peso 3. Os dados estão representados na tabela a seguir:

Evento Nota Peso Nota Ajustada

Prova 1 7,00 1 7,00

Prova 2 5,00 2 10,00

Prova 3 6,00 1 6,00

Prova 4 8,00 2 16,00

Exame Final 6,00 3 18,00

Soma 9 57,00

Média ponderada 6,33

Tabela 3 – Média Ponderada

12

3.2.3 Mediana

A mediana é o ponto (ou elemento) eu divide o rol em duas partes

iguais. Caso o número de elementos do rol seja ímpar, a mediana será o elemento

central do rol. Na hipótese do número de elementos ser par, a mediana terá dois

valores centrais e corresponderá à média entre esses dois valores.

Suponhamos o seguinte rol, constituído de 10 elementos:

13,1 – 13,1 – 13,1 – 13,2 – 13,3 – 13,5 – 13,5 – 13,7 – 13,7 – 13,9

Os elementos centrais são os números 13,3 e 13,5, donde a

mediana corresponde à média entre esses dois valores, ou seja, 13,4.

Em outra situação, o rol anterior é acrescido de um elemento, qual

seja, o número 14,0, passando a ter 11 elementos e a compor-se da seguinte forma:

13,1 – 13,1 – 13,1 – 13,2 – 13,3 – 13,5 – 13,5 – 13,7 – 13,7 – 13,9 – 14,0

Verifica-se que, nesse caso, a mediana é, exatamente, o elemento

central, no caso, 13,5.

São propriedades da mediana:

1. Existe somente uma mediana para um conjunto de dados.

2. A mediana não é afetada pelos valores extremos como a média aritmética,

por isso, se diz que a mediana é uma medida robusta.

3. Sempre que o rol estiver constituído em progressão aritmética (PA), a média

será equivalente à mediana.

3.2.4 Moda

Nesse aspecto, MEDRI (p. 23) e STEVENSON (p. 23) concordam na

conceituação, definindo, simplesmente, que a moda é o valor que ocorre com maior

freqüência num conjunto. Conseqüência desse conceito é que se todos os

elementos do conjunto forem diferentes entre si, não haverá moda.

13

A moda não é fruto de um cálculo, ela resulta de uma observação e,

por essa razão, não se presta, diretamente, à análise matemática. Contudo, o valor

da moda chama atenção sempre que estiver próximo ou coincidir com a média ou

com a mediana, posto que reforçará a tendência central da apuração.

3.3 MEDIDAS DA DISPERSÃO

Apurado um valor médio para os elementos de um rol torna-se

necessário examinar as medidas de dispersão dos demais elementos em relação à

tendência central, como meio de definir a variabilidade que os dados apresentam

entre si. COSTA (p. 78) prefere chamar essas medidas como Medidas de

Variabilidade

Somente não haverá dispersão quando todos os elementos do rol

forem iguais, como ensina MEDRI (p. 25). As medidas de dispersão, assim,

apresentam o grau de agregação dos dados.

Tomemos um exemplo numérico proposto por MEDRI (p. 26) para

destacar a importância da análise das medidas de dispersão ou de variabilidade.

Repetição Série A Série B Série C

1 45 41 25

2 45 42 30

3 45 43 35

4 45 44 40

5 45 45 45

6 45 46 50

7 45 47 55

8 45 48 60

9 45 49 65

Média 45 45 45

Mediana 45 45 45

Tabela 4 – Média Ponderada

Pode-se observar que enquanto a série A não apresenta qualquer

variabilidade entre os seus elementos, as séries B e C apresentam dispersão, sendo

14

que a da série C é maior que a da série B. Chamamos atenção para o fato de que,

para as três séries, tanto a média quanto a mediana são iguais.

Contudo, nem todas as séries analisadas terão situação clara como

a presente, pelo que torna-se necessário calcular outros elementos de apoio

matemático para que se possa precisar, no mais das vezes, qual a série ou conjunto

de dados mais estável, isto é, que apresenta a menor dispersão entre os seus

elementos.

As medidas descritivas mais comumente utilizadas são: amplitude

total; variância e desvio padrão.

3.3.1 Amplitude Total

De modo geral a amplitude total corresponde à diferença entre o

maior e o menor elemento de um conjunto de observações ou de um rol. Como é

lastreada apenas nos valores extremos, apresenta limitação em seu aspecto

conclusivo, como alerta MEDRI (p. 26).

No caso dos dados agrupados na tabela 4, podemos calcular a

Amplitude Total e sintetizar os dados como segue:

Ítem Série A Série B Série C

Menor valor 45 41 25

Maior Valor 45 49 65

Amplitude 0 8 40

Tabela 5 – Amplitude Total

3.3.2 Variância

A variância tem como fundamento os desvios de cada elemento do

rol em relação à média. Para evitar que a soma dos desvios seja igual a zero, posto

que os desvios podem ser positivos ou negativos, a variância considera o quadrado

de cada desvio, ou seja, 2

(x1 − x)

A fórmula de cálculo da variância é a seguinte:

1

( )2

2

= Σ

n

x x

s i

15

Tomando como exemplo os dados da tabela 4, para as séries B e C,

temos:

xi x (xi - x) (xi - x)2

41 45 -4 16

42 45 -3 9

43 45 -2 4

44 45 -1 1

45 45 0 0

46 45 1 1

47 45 2 4

48 45 3 9

49 45 4 16

9 0 60

Variância = 7,5

Tabela 6 – Variância Série B

xi x (xi - x) (xi - x)2

25 45 -20 400

30 45 -15 225

35 45 -10 100

40 45 -5 25

45 45 0 0

50 45 5 25

55 45 10 100

60 45 15 225

65 45 20 400

9 0 1500

Variância = 187,5

Tabela 7 – Variância Série C

16

3.3.3 Desvio Padrão

De modo sintético, o desvio padrão é a raiz quadrada da variância,

ou seja:

s = s2 ou

1

( )2

= Σ

n

x x

s i

Para as séries A, B e C, indicadas na Tabela 4, teríamos os

seguintes desvios padrões:

Ítem Série A Série B Série C

Variância 0,0 7,5 187,5

Desvio Padrão 0,0 2,7 13,7

Tabela 8 – Desvio Padrão

3.3.4 Coeficiente de Variação

Após calcular o desvio padrão a pergunta que segue é a seguinte: o

desvio é grande ou pequeno. Essa questão é relevante quando se quer saber a

precisão do método indicado em uma pesquisa.

Contudo, em valores nominais a questão não pode ser respondida

posto que depende da grandeza dos números envolvidos. Com efeito. Em uma base

de observação com valores médios de 10.000 e moda e mediana nessa mesma

faixa, um desvio de 10 é irrisório. Contudo, esse mesmo desvio para valores cuja

observação média típica é 50 torna-se bastante elevado.

Para responder a indagação primitiva é necessário utilizar o

Coeficiente de Variação, que, conforme MEDRI (p. 27), é um número adimensional,

isto é, um número puro e é usualmente expresso em porcentagem. Quanto menor o

coeficiente de variação, mais homogêneo é o conjunto analisado.

A fórmula de cálculo do Coeficiente de Variação é a seguinte:

.100

x

CV = s

17

Com relação às séries estudadas (A, B e C), indicadas na Tabela 4,

teríamos os seguintes coeficientes de variação:

Ítem Série A Série B Série C

Média 45,0 45,0 45,0

Desvio Padrão 0,0 2,7 13,7

Coeficiente de Variação 0,00% 6,09% 30,43%

Tabela 9 – Coeficiente de Variação

3.6 DIAGRAMA DE FREQUÊNCIA

SPIEGEL (p. 33) define que "um arranjo tabular dos dados por

classes, juntamente com as freqüências correspondentes, é denominado distribuição

de freqüência ou tabela de freqüência". STEVENSON (p. 32) esclarece que "uma

distribuição de freqüência é um método de grupamento de dados em classes, ou

intervalos, de tal forma que se possa determinar o número, ou a porcentagem (isto é,

a frequência) de cada classe".

Conquanto se possa adotar nessas situações em que se analisa um

grande conjunto de dados, é imperioso observar, como lembra MEDRI (p. 28) que,

"no agrupamento de dados acarreta alguma perda de informação. cada elemento

perde sua identidade, por isso, sabe-se apenas quantos elementos há em cada

classe".

Para exemplificar uma distribuição de freqüência, utilizaremos a

tabela criada por SPIEGEL (p. 33), que retrata as alturas de 100 estudantes do sexo

masculino da Universidade XYZ.

Altura (cm) Número de estudantes

151-158 5

159-166 18

167-174 42

175-182 27

183-190 8

Total 100

Tabela 10 – Distribuição de freqüência

18

3.6.1 Intervalos de classe

Quando se trabalha com um grande volume de dados brutos e se

quer utilizar o sistema de diagramas de freqüência é necessário agrupar os dados

coletados em intervalos.

Esses intervalos são chamados de intervalos de classe e devem ser

definidos com cuidado eis que, como recomenda MEDRI (p. 16) "poucos intervalos

podem resultar em perda da informação. Por outro lado, muitos intervalos não

resumem a informação".

Assim, a questão crucial em relação aos intervalos de classe é

definir a amplitude dos mesmos, para o que devem ser observados os seguintes

passos7:

1) Encontrar o menor e o maior valor do conjunto de dados e calcular a

amplitude entre eles por: At = nº do maior - nº do menor

2) Não existindo um critério rígido para estabelecer o número ideal de

intervalos, sugere-se que não se utilize menos de 6 e não mais de 15

intervalos. A experiência tem demonstrado que se pode fixar o número de

intervalos como: K = n ou K = 1 + 3,3.log n, para uma amostra de

tamanho n

3) Uma vez determinado o número de intervalos, o tamanho destes é dado

por C =

K

At

No exemplo destacado na Tabela 1, atinente à empresa AKI-SETRABALHA

há um conjunto de 43 dados. Os intervalos de classe poderiam ser

obtidos da seguinte forma:

At = nº do maior - nº do menor ∴ At = 4,2 - 0,8 = 3,43

K = n ∴ K = 43 = 6,56 ≅ 7

C =

K

At ∴ C =

7

3,4 ≅ 5

______________

7 MEDRI, op. cit., p. 17.

19

Segundo esses intervalos a distribuição de freqüência dos dados

colhidos na referida empresa ficaria desse modo:

Depósitos

bancários

(milhares R$)

Freqüência

absoluta

Ponto médio Freqüência

relativa %

Freqüência

acumuada

0,8 I-- 1,3 4 1,05 9,30% 4

1,3 I-- 1,8 7 1,55 16,28% 11

1,8 I--2,3 11 2,05 25,58% 22

2,3 I-- 2,8 8 2,55 18,60% 30

2,8 I--3,3 8 3,05 18,60% 38

3,3 I-- 3,8 2 3,55 4,65% 40

3,8 I-- 4,3 3 4,05 6,98% 43

Total 43 100,00%

Tabela 11 – Distribuição de freqüência AKI-SE-TRABALHA

3.6.2 Representação gráfica

O diagrama mencionado no item anterior também poderia ser

demonstrado em formato gráfico, sendo que as duas formas mais freqüentes são o

histograma e o polígono de freqüência.

Temos:

a) Histograma

20

0

2

4

6

8

10

12

0,8 I-- 1,3 1,3 I-- 1,8 1,8 I--2,3 2,3 I-- 2,8 2,8 I--3,3 3,3 I-- 3,8 3,8 I-- 4,3

Milhares de Reais

Freqüência

b) Polígono de freqüência

0

2

4

6

8

10

12

0,80 1,05 1,55 2,05 2,55 3,05 3,55 4,05 4,3

Milhares de Reais

Freqüência

3.7 DADOS AGRUPADOS

Os dados agrupados também possibilitam o cálculo das medidas de

tendência central e das medidas de dispersão tal qual ocorre com relação aos dados

não agrupados em distribuição de freqüência. A única diferença é que torna-se

necessário observar a freqüência de ocorrência de uma determinada classe de

dados, como se fosse uma média ponderada, porém, em relação ao ponto médio da

classe.

Nesse contexto, quando se trabalha com dados agrupados em

distribuição de freqüência o ponto de partida é ajustar a freqüência em relação ao

21

ponto médio, tanto pelo valor simples, como pelo quadrado desse ponto médio,

como feito com relação à variância dos dados não agrupados.

Considerando-se o exemplo da empresa AKI-SE-TRABALHA, tal

qual proposto por MEDRI (p. 28), teríamos a seguinte tabela ajustada:

Depósitos

bancários

(milhares R$)

Freqüência

absoluta (fi)

Ponto médio

(xi)

Freqüência

acumulada

(Fac)

xi.fi xi².fi

0,8 I-- 1,3 4 1,05 4 4,20 4,41

1,3 I-- 1,8 7 1,55 11 10,85 16,82

1,8 I--2,3 11 2,05 22 22,55 46,23

2,3 I-- 2,8 8 2,55 30 20,40 52,02

2,8 I--3,3 8 3,05 38 24,40 74,42

3,3 I-- 3,8 2 3,55 40 7,10 25,21

3,8 I-- 4,3 3 4,05 43 12,15 49,21

Total 43 101,65 268,31

Tabela 12 – Dados agrupados ajustados

A partir desse ajuste, todas as demais medidas de tendência central

e dispersão poderiam ser calculadas.

3.7.1 Média

A fórmula para o cálculo da média de uma distribuição de

freqüências é a seguinte:

n

x f

x

n

i

i i Σ=

= 1

.

, assim 2,36

43

x = 101,65 =

3.7.2 Mediana

A expressão para determinar a mediana de uma distribuição de

freqüências é dada por:

22

c

MD

ac

i a

f

n F

Md l

2 1 − −

= + , assim 0,5 2,28

11

1,8 21,5 11 =

Md = +

Destaca-se que:

li = limite inferior da classe da mediana;

n = número de elementos;

ac = amplitude da classe;

Fac-1 = freqüência simples da classe Md;

fMD = freqüência simples da classe Md

3.7.3 Moda

Determina-se a moda de uma distribuição de freqüências com a

utilização da seguinte expressão:

i c Mo l a

1 2

1

Δ + Δ

Δ

= + , assim 0,5 2,09

4 3

1,8 4 =

+

Mo = +

Observamos que:

li = limite inferior da classe modal (de maior freq6uência);

Δ1 = diferença entre a freqüência da classe modal e a anterior;

Δ2 = diferença entre a freqüência da classe modal e a posterior;

3.7.4 Variância e desvio padrão

Do mesmo modo que em relação aos dados não agrupados, podese

aferir medidas de dispersão dos dados acumulados, proporcionalizados por suas

respectivas freqüências em relação à tendência central média.

A primeira medição que se faz é a da variância, com o uso da

seguinte expressão:

1

( )

1

1

2

2

2

=

Σ

Σ

=

=

n

n

x f

x f

s

n

i

n

i

i i

i i

, assim, 0,667

43 1

43

268,31 (101,65)

2

2 =

s =

23

Na exata medida em que o desvio padrão corresponde à raiz

quadrada da variância, temos:

s = s2 e, s = 0,667 = 0,817

24

4 PROBABILIDADE

De modo geral, os autores concordam que as aplicações iniciais da

matemática da probalidade referiam-se quase todas aos jogos de azar. Assim é que:

O primeiro trabalho escrito de que se tem notícia e que envolve a noção de

probabilidade data de 1477. Trata-se de um comentário feito á Divina

Comédia (Dante), onde há referência às probabilidades associadas aos

vários resultados decorrentes do jogo de 3 dados (COSTA, p. 90).

Pode-se recorrer ao cálculo da probabilidade sempre que,

independente de qual seja a aplicação em particular, exista um elemento de acaso,

ou de incerteza, quanto à ocorrência ou não de um evento futuro.

A probabilidade faz parte da Estatística Indutiva, ou seja, lastreia-se

em processo de inferência através do qual, pelo correto exame de uma amostra

pode-se inferir o que ocorrerá com a população. A maior utilidade da probabilidade,

como menciona STEVENSON (p. 55) é auxiliar o desenvolvimento de estratégias,

quantificando o quão provável é determinado evento.

No campo contábil essa utilidade pode ser vista com facilidade no

campo orçamentário e no campo da previsão de cenários, onde, baseado em dados

históricos, devidamente mensurados e com apoio matemático para prever uma

tendência (probabilidade) pode-se definir por este ou aquele cenário.

COSTA (p. 92) sintetiza que "probabilidade é o número que resulta

da divisão do número de casos favoráveis a um evento pelo número total de casos

possíveis".

Diante dessa definição, o número resultante desse cálculo somente

pode estar compreendido entre 0 e 1, porque o maior número de casos favoráveis

possível corresponde ao número total de casos possíveis e, em sentido inverso, o

menor número possível de casos favoráveis é 0, ou seja, é quando não há

possibilidade de ocorrer um evento favorável.

SPIEGEL (p. 127) diz que a definição quanto "a probabilidade da

ocorrência do evento (denominado sucesso) é definida por: { }

n

p = Pr E = h ". Por outro

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lado, a probalidade do chamado insucesso, é representada da seguinte forma:

1− Pr{E}. Essa formulação pode ser representada através da seguinte figura:

Insucesso

Sucesso