Trabalho Completo Matematica

Matematica

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Categoria: Outras

Enviado por: wdsc 11 setembro 2013

Palavras: 2149 | Páginas: 9

Conteúdo Programático de Matemática

Teoria dos conjuntos

Funções

Grandezas

Proporção

Sistemas de Medição

Sistemas de Equações

Limites

Derivadas

Regressões e Gráficos

Matemática

Revisão:

1) Calcular o valor numérico das expressões:

a) 20 – (- 45) : (- 3)2 + (- 2) . (- 1)5

b) 14 + (- 2)4 – (- 2)3 + 07 + 320 + 8.22

c) – (- 2)3 + (- 1)0 – [pic]– 53 : 25

d) [pic]

e) [pic]

f) [pic]

g) (0,5)2 : 5 – 2 .(0,3 . 1,2 – 0,72 : 2,4)

h) [pic]+ 0,19 : [pic]

i) [pic]

j) [pic]

k) [pic]

2) Escreva os números como o produto de um número inteiro por uma potência de 10.

a) 0,3 =

b) 3000 =

c) 0,005 =

d) 0,0625 =

e) 3,45 =

f) 312,51 =

g) 8 000 000 =

h) 6,001 =

3) Determine o valor da expressão [pic].

4) Calcule o valor de:

a) [pic]=

b) [pic]=

c) [pic]=

d) [pic]=

e) [pic]=

f) 251/2 =

g) 81/3 =

h) (-27)2/3 =

i) (- 1)7/9 =

5) Calcule o valor da expressões.

a) [pic]

b) [pic]

c) [pic]

Conjuntos:

Na matemática, tratamos o conceito de conjuntos como conceito primitivo, portanto sem definição. Intuitivamente, aceitamos por conjunto uma coleção ou classe de objetos bem definidos, e os objetos que formam o conjunto são chamados elementos do conjunto.

Conjuntos são representados por letras maiúsculas A, B, C, ...

Elementos são representados por letras minúsculas a, b, c, ...

Pertinência “[pic]”

Se um elemento a é um elemento de um conjunto A, a[pic]A[pic] a pertence ao conjunto A.

Se um elemento a não é um elemento de um conjunto A, a[pic]A[pic] a não pertence ao conjunto A.

Subconjuntos

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de um conjunto B quando todo elemento de A é também elemento de B. Representamos:

A[pic]B[pic]A está contido em B

B[pic]A[pic]B não está contido em A

B[pic]A[pic]B contêm A

União de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chama-se união de A e B e indica A[pic]B (A união B) o conjunto cujos elementos pertencem a A ou a B.

Intersecção de conjuntos

Dados dois conjuntos A e B, chame-se intersecção de A e B e indica A[pic]B (A inter B) o conjunto cujos elementos são comuns a A e B, isto é, que pertencem A e também a B.

Conjuntos Numéricos

Conjunto dos números Naturais “N”

N = {0, 1, 2, ...}

Conjunto dos números Inteiros “Z”

Z = {...- 2, - 1, 0, 1, 2, ...}

Conjunto dos números Racionais “Q”

Q = [pic]; com b[pic]0

Conjunto dos números Irracionais “I”

I = {Números que não podem ser expressos na forma [pic]}.

Conjunto dos números Reais “R”

R = {Q U I}.

Exercícios:

1) Sendo A = {0,1,2,3}, B = {0,2,3,5}, C = {x / x é número par menor que 10} e D = {x / x é número ímpar compreendido entre 4 e 10}, determine:

[pic]

2) Sendo A = {0,1,2,3,4}, B = {0,1,2}, C = {x / x é par menor que 10} e D = {x / x é ímpar compreendido entre 0 e 6}, determine:

[pic]

3) Represente os seguintes conjuntos, enumerando os seus elementos entre chaves:

a) A ={x/x é par e maior que 3}

b) B ={x/x[pic]N e x > 7}

c) C ={x/x[pic]N e x < 2}

d) D ={x/x[pic]N e x > 4 e x < 6}

e) E ={x/x[pic]N e 3 < x < 7}

4) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, 100 liam o jornal A, 150 liam o jornal B, 20 liam os dois jornais (A e B) e 110 não liam nenhum dos dois jornais. Quantas pessoas foram consultadas?

5) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos A ou B. O produto B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto A?

6) Sabe-se que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Em uma pesquisa efetuada num grupo de 120 pacientes de um hospital, constatou-se que 40 deles têm o antígeno A, 35 têm o antígeno B e 14 têm o antígeno AB. Nestas condições, pede-se o número de pacientes cujo sangue tem o antígeno O.

7) Num grupo de 99 esportistas, 40 jogam vôlei e xadrez, 22 jogam xadrez e tênis, 18 jogam vôlei e tênis e 11 jogam as três modalidades. O número de pessoas que jogam xadrez é igual ao número de pessoas que jogam tênis.

a. Quantos esportistas jogam tênis e não jogam vôlei?

b. Quantos jogam xadrez ou tênis e não jogam vôlei?

c. Quantos jogam vôlei e não jogam xadrez?

Equações do 1º e 2º grau.

Chama-se equação do 1º grau, na variável x, a qualquer expressão algébrica que pode ser reduzida à forma: ax + b = 0, com a[pic]R, b[pic]R, a ≠ 0.

Exemplos:

Encontre as raízes:

1) 2x + 10 = 0

2) x – 3 = 0

3) –x + 5 = 0

4) [pic]

5) 3x – 2 = 2x + 3

6) [pic]

7) [pic]

8) Problemas:

∙ Um pagamento foi acrescido de 50% de seu valor, resultando em um total a ser pago de R$ 300,00. Qual o valor da dívida original?

. Um produto é anunciado em uma loja com pagamento em duas vezes sem juros, ou a vista com desconto de 20%. Se uma pessoa pagou a vista R$ 400,00 pelo produto, qual o valor das prestações para a compra a prazo?

. Uma pessoa fez um acordo com uma administradora para pagar o saldo de seu cartão de crédito em três vezes sem juros. O primeiro pagamento corresponde à metade da dívida e o segundo pagamento, R$ 300,00. Qual o valor da dívida, se o último pagamento era de 20% da dívida original?

. Duas pessoas têm juntas R$ 135,00. Quanto possui cada uma delas, sabendo-se que uma possui o dobro da outra?

Chama-se equação do 2º grau, na variável x, a qualquer expressão algébrica que pode ser reduzida à forma: ax2 + bx + c = 0, com a[pic]R, b[pic]R, c[pic]R e a ≠ 0.

Exemplos:

Encontre as raízes:

1) x2 – 5x +6 = 0

2) – x2 + 12x – 15 = 0

3) x2 – 100 = 0

4) 3x2 + 12x = 0

5) 4x2 = 0

6) Problemas:

1. Dois números apresentam soma 20 e produto 91. Quais são esses números?

2. Determinar dois números positivos com soma 14 e produto 33.

3. Determinar dois números negativos com diferença 4 e produto 21.

4. Determinar as dimensões de um retângulo com área de 80m2, sabendo-se que um lado tem 2m a mais que o outro.

5. O lucro devido à comercialização de um produto é calculado pela equação L = q2 + 8q – 10, onde q é a quantidade comercializada. Determinar o menor valor de q para o qual o lucro seja de R$ 2,00.

Funções:

1 Conceitos e Exemplos

Vamos considerar dois conjuntos numéricos A e B não vazios e construir um conjunto de pares de números, escolhendo o primeiro número do par do conjunto A e o segundo número do par do conjunto B.

Esse conjunto de pares de números é uma função se para cada elemento do conjunto A estiver associado somente um elemento do conjunto B.

Situação1:

A B

Os pares (2, 6), (5, 8), (10, 8), (6, -2) constituem uma função.

Situação 2:

A B

Os Pares (2,6), (5,8), (2,8), (10, - 2), (6,15) não constituem uma função pelo fato de o elemento 2 do conjunto A estar associado a dois elementos do conjunto B.

O conjunto A, que fornece o primeiro elemento de cada par, é denominado domínio da função.

O conjunto dos elementos de B que estão relacionados nos pares é denominado conjunto imagem da função.

Chamando genericamente de x os elementos do conjunto A (domínio) e de y os elementos do conjunto B, dizemos que y é função de x, ou imagem de x pela função f.

Notificação: y = f (x)

Exemplo: 1

Verificar se o conjunto de pares constitui uma função. Se a resposta for afirmativa, determine o domínio e o conjunto imagem da função.

{(3,5), (2,4), (5,8), (6,12), (7,12) (8,15)}

Solução:

Esse conjunto de pares é uma função, pois cada elemento do primeiro conjunto aparece apenas uma vez e tem, portanto, apenas uma imagem.

O domínio é: A = {3, 2, 5, 6, 7, 8}

O conjunto imagem é: B = {5, 4, 8, 12, 15}

Exercícios

Verificar se o conjunto de pares constitui uma função. Se a resposta for afirmativa, determine o domínio e o conjunto imagem da função.

1) {(2,3), (-1,2), (12,5), (8,5)}

2) {(- 1,5), (0,6), (6,4), (4,6)}

3) {(0,0), (- 2,4), (0,3), (3,5), (6,6)}

4) {(-2,-2), (2,2), (0,0), (3, - 3), (- 3, 3)}

Construção dos pares com o auxílio de uma Regra de formação.

Nesse caso, para definirmos uma função devemos:

1. identificar todos os números que compõem o domínio da função;

2. mostrar como encontrar a imagem de cada elemento do domínio, isto é, estabelecer uma regra ou uma lei que nos permita identificar a imagem de cada elemento do conjunto A.

Exemplo :

1) A função f é dada y = 2x, com domínio A ={x[pic]R/ 0[pic] x[pic]20}

2) A função f é dada y = 3x – 2, com domínio A = R.

3) A função f é dada y = [pic], A ={x[pic]R / x[pic]5}

Exercícios:

Estabelecer as condições para que x tenha imagem nas funções dadas pelas leis de formação:

1. x[pic][0, 5] e y = 1 +x2

2. y = x2 + 3x + 1

3. y = (2x – 5)1/2

4. y = 0,3x + 15, onde y representa o custo total de produção em uma empresa e x representa a quantidade de parafusos produzida, sabendo-se que a produção máxima dessa empresa é 30.000 unidades.

Representação Gráfica de Funções.

Podemos associar a cada par (par ordenado, “x, y”) que compõe a função um ponto em um sistema de eixos coordenados.

Exemplo:

Construir o gráfico com os pares:

a) f = {(0, 3), (1, 2), (4, 5)}

b) f = x + 2, para x[pic][-1, 4]

c) f = x2 – 4, para x[pic]0

Exercícios:

Esboçar os gráficos das funções:

1. f = {(1, 1), (2, 1), ( 3, 1), (4, 1)}

2. y = x +3, para x[pic][0, 4]

3. y = x2, para x ≥ 0

4. y = [pic], para x[pic][0, 10]

Conhecido o gráfico da função linear (dois pontos), determinar a regra que a define. “f(x) = ax + b”.

Exemplo:

Determine a regra que define a função linear cujo gráfico é a reta que passa pelos pontos:

1. A = (2, 5) e B = (4, 9)

2. A = (1, 2) e B = (3, 8)

3. A = (- 3, - 5) e B = ( -1, 0)

4. A = (- 3, 1) e B = (- 3, 2)

Sistema de Equações do 1º grau

Um sistema é apresentado, em geral, na forma: [pic]

Exemplo:

Solução de um sistema:

a) [pic]

b) [pic]

c) [pic]

d) [pic]

e) [pic]

Problemas:

1) A diferença entre as idades de duas pessoas é 15 anos. Daqui a dois anos a mais velha terá o dobro da idade da mais nova. Qual a idade de cada uma.

2) O preço de equilíbrio de mercado para um produto é o preço de venda do produto que equilibra a quantidade que os produtores estão dispostos a oferecer e a quantidade que os consumidores estão dispostos a adquirir. Se a equação que dá oferta do produtor for

q = 0,1p – 40 e a equação que mede a demanda do consumidor for q = 500 – 0,2p, qual o ponto de equilíbrio desse mercado?

Função Quadrática

É a função dada pela regra y =ax2 + bx + c, com domínio R, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.

O gráfico da função quadrática é uma parábola que tem concavidade voltada para cima, caso a seja positivo, e concavidade voltada para baixo, caso a seja negativo.

Para construir uma parábola (gráfico),

1º encontramos as raízes;

2º os seus vértices.

Exemplo:

1) Construir a representação gráfica da função y = x2 -5x + 6.

2) Construir a representação gráfica da função y = -2x2.

Exercícios:

Construir os gráficos:

1) y = x2 – 4x + 3

2) y = x2

3) y = x2 – 6x + 9

4) y = - x2 + 4x

5) y = - x2 – 1

Logaritmo:

Se a[pic]R, a > 0, a ≠ 1 e x[pic]R, x > 0, então o número real y tal que bx = a é denominado logaritmo de x na base a e denota-se logba = x

Onde:

[pic]

Exercícios:

Calcule o valor de x:

a) [pic]

b) [pic]

c)[pic]

d)[pic]

Condição de existência do logaritmo

Existe o logab somente quando a > 0, a ≠ 1 e b > 0.

Exemplos:

a) [pic]

b) [pic]

Propriedades do logaritmo.

Dados os números reais e positivos a, b, e c, sendo a ≠ 1, pela definição de logaritmo decorrem as seguintes propriedades:

[pic]

Exercícios:

1) Dados log7 2 = 0,3562 e log7 5 = 0,8271, calcule log7 10.

2) Dados log 2 = 0,3010, log 3 = 0,4771 e log 7 = 0,8450, calcule log 42.

3) Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule log 72.

4) Resolva as equações:

a) log5 3 + log5 (x + 2) = 2

b) log10 x + log10 x = 2

c) log2 x + log2 (x -1) = 1

d) log (x +5) + log (x- 4) = log 10

e) log ( x + 5) – log 2 = log 6

f) log (3x – 2) – log 5 = log 2

5) Dados log 2 = 0,3010 e log 5 = 0,6990, calcule log [pic].

6) Dados log 3 = 0,4771 e log 5 = 0,6990, calcule log 0,6.

7) Dados log 2 = 0,3010 e log 3 = 0,4771, calcule:

a) log 35

b) log[pic]

Mudança de Base

[pic]

Exemplos:

1) Dados log2 = 0,3010 e log3 = 0,4771, calcule log23.

2) Passe os logaritmos para base 3.

a) log927

b) log57

c) log24381

-----------------------

2

5

10

6

6

8

- 2

- 5

6

8

- 2

15

2

5

10

6