Multiplicando as combinações

1) De um total de 6 pratos à base de carboidratos e 4 pratos à base de proteínas, pretendo fazer o meu prato com 5 destes itens, itens diferentes, de sorte que contenha ao menos 2 proteínas. Qual é o número máximo de pratos distintos que poderei fazer?

Se não houvesse a restrição das duas proteínas, o cálculo seria simplesmente C10, 5:

Mas como há tal restrição, devemos descontar deste total o número de pratos que só contém carboidratos, que é igual a C6, 5:

Não podemos nos esquecer de que também podemos montar pratos contendo apenas um item de proteína, então devemos desconsiderá-los também. Estes pratos são o produto de C6, 4, referentes aos quatro itens de carboidrato, por C4, 1, referentes ao único item de proteína:

Multiplicando as combinações:

Podemos formar então 6 pratos sem qualquer item de proteína e mais 60 pratos com somente um item de proteína. Então de 252 que é o número total de combinações possíveis sem a restrição, devemos subtrair 66 pratos para obtermos a resposta do exercício, ou seja, 186.

Poderíamos ter resolvido este exercício de uma outra maneira. Vamos lhe explicar como e vamos lhe dar o resultado, mas o desenvolvimento em si você mesmo deverá fazer, para que consiga fixar melhor os conhecimentos adquiridos. Por favor, não deixe de fazê-lo.

O produto C6, 3 . C4, 2 = 20 . 6 = 120 nos dá o total de pratos contendo 3 itens de carboidrato e 2 itens de proteína.

Já o produto C6, 2 . C4, 3 = 15 . 4 = 60 é igual ao total de pratos contendo 2 itens de carboidrato e 3 itens de proteína.

Por fim o produto C6, 1 . C4, 4 = 6 . 1 = 6 resulta no total de pratos contendo 1 item de carboidrato e 4 itens de proteína.

Somando 120, 60 e 6, obtemos o mesmo resultado obtido anteriormente.

Portanto:

O número máximo de pratos distintos que poderei fazer, contendo ao menos dois itens de proteína, é igual a 186 pratos.