A CINEMÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS

CINEMÁTICA DE CORPOS RÍGIDOS

Translação: quando um corpo executa um movimento em que dada uma linha reta dentro do corpo, tal linha mantenha a direção durante todo o movimento, o mesmo é denominado translação. Nos movimentos de translação todas as partículas do corpo movem-se ao longo de trajetórias paralelas; se essas trajetórias são paralelas, o movimento é denominado translação retilínea, se as trajetórias são linhas curvas, o movimento é uma translação curvilínea.

Rotação em torno de um eixo fixo: há um eixo fixo que intercepta o corpo rígido, denominado eixo de rotação, em torno do qual todas as partículas que constituem o corpo rígido executam movimentos paralelos ao longo de círculos centrados neste eixo; as partículas que se encontram sobre o eixo possuem velocidade e aceleração nulas.

Movimento plano geral: Todo movimento plano que não seja rotação nem translação é definido como um movimento plano geral.

Movimento em torno de um ponto fixo: Movimento tridimensional de um corpo rígido ligado a um ponto fixo.

Movimento geral: qualquer movimento que não se encaixe em nenhuma das categorias anteriores é referido como movimento geral.

TRANSLAÇÃO

Considerando um corpo rígido em translação, seja ela retilínea ou curvilínea, toma-se A e B como duas partículas quaisquer desse corpo. Os vetores de posição  de A e B são dados por rA e  rB em relação a um sistema fixo e por rB/A , escrevemos

rB  =  rA + rB/A

Pela primeira definição de translação, o vetor rB/A deve manter uma direção constante, sua intensidade também deve ser constante, pois A e B pertencem ao mesmo corpo rígido. Logo a derivada de rB/A é nula e temos [pic 1]

Logo, quando um corpo rígido está em translação, todos os pontos do corpo têm a mesma velocidade e a mesma aceleração em qualquer instante dado. No caso de translação curvilínea, a velocidade e a aceleração variam tanto em direção como em intensidade a todo instante. No caso de translação retilínea, todas as partículas do corpo movem-se ao longo de linhas retas paralelas e suas velocidade e aceleração mantêm a mesma direção durante todo o movimento.

ROTAÇÃO EM TORNO DE UM EIXO FIXO

Toma-se um corpo rígido que gira em torno de um eixo fixo AA’. Seja P um ponto do corpo e r seu vetor de posição em relação a um sistema de referência fixo.

[pic 2]

 Vamos assumir que o sistema de referência esteja centrado no ponto O sobre AA’ e que o eixo z coincida com AA’. B é uma projeção de P sobre o eixo AA’. Por definição a distância entre B e P deve permanecer constante e assim sendo descreverá um círculo de centro B e raio r sen Φ, onde Φ representa o ângulo formado entre r e AA’.

A posição de P e de todo o corpo fica definida pelo ângulo θ que a linha BP forma com o plano zx. O ângulo θ é denominado coordenada angular e é definido como positivo quando visto no sentido anti-horário a partir de A’. A coordenada angular será expressa em radianos (rad) ou, ocasionalmente, em graus (º) ou revoluções (rev). Recordemos que

1 ver =  2π rad = 360°

A velocidade v = dr/dt de uma partícula P é um vetor tangente à trajetória de P e de intensidade [pic 3] Observando que o comprimento Δs do arco descrito por P quando corpo gira de um ângulo Δθ é

[pic 4]

Onde θ representa a derivada temporal de θ. Concluímos que a velocidade v de P é um vetor perpendicular ao plano contendo AA’ e r, e de intensidade definida por

[pic 5]

[pic 6]

Logo a aceleração angular de um corpo que gira em torno de um eixo fixo é um vetor orientado ao longo do eixo de rotação de intensidade igual à taxa ω de variação da velocidade angular.

A aceleração de P é a soma de dois vetores. O primeiro vetor é igual ao produto vetorial α x r, tangente ao círculo descrito por P, representa o componente tangencial da aceleração. O segundo vetor é igual ao produto vetorial triplo

 ω x (ω x r), como ω x r é tangente ao círculo descrito por P, o produto vetorial triplo é orientado para o centro B do círculo e representa o componente normal da aceleração.

A rotação de corpos rígidos pode ser generalizada pela rotação de uma placa representativa, tomando o plano xy como plano de referência e admitindo que o mesmo coincida com o plano da figura, com eixo z apontando para fora do papel

 Temos que ω = ωk e que um valor positivo do escalar ω corresponde a uma rotação anti-horária e um valor negativo corresponde a rotação horária.  Substituindo ωk por ω em 15.5 temos que v = ωk x r (15.10). [pic 7]

Sendo os vetores k e r perpendiculares entre si, a intensidade da velocidade v é

[pic 8](15.10’)

e seu sentido pode ser obtido girando r 90º no sentido de rotação da placa

[pic 9]

O componente tangencial at aponta para o sentido anti-horário se o escalar α é positivo e para o sentido horário se _ é negativo. O componente normal an sempre aponta para o sentido oposto ao de r, ou seja, para O.

EQUAÇÕES DEFINIDORAS DA ROTAÇÃO DE UM CORPO RÍGIDO EM TORNO DE UM EIXO FIXO

O movimento do corpo rígido em torno de um eixo fixo é considerado conhecido quando sua coordenada θ pode ser definida em função de t. Porém, frequentemente as condições de movimento serão especificadas pelo tipo de aceleração angular do corpo. Por exemplo, α pode ser dada como uma função de t, como função de θ ou como uma função de ω.