ANÁLISE DE VIBRAÇÕES DE UMA VIGA

CEFET/RJ - CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TÉCNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA

ANÁLISE DE VIBRAÇÕES DE UMA VIGA

Professor: JulienMauprivez

Alunos: Anne de Souza Zamarreño Hernandez, Gabriel dos Santos Oliveira, Lucas Leal e Marcelo Ricardo.

Itaguaí, 26 de novembro de 2017

1. Introdução

O estudo da dinâmica de estruturas sejam elas rígidas ou flexíveis sob a ação de forças externas ou não, tais como, ventos, vibrações mecânicas externas de qualquer ordem, é de vital importância para a prevenção de possíveis problemas estruturais, tais como trincas, deslocamentos, rupturas parciais ou totais dessas estruturas. Portanto , faz-se antes necessário conhecer os modos e as frequências naturais de vibração da estrutura. Normalmente, estes estudos são realizados através de modelos matemáticos computacionais.

Em estudos sobre dinâmica de estruturas é fundamental obter as frequências naturais e os modos de vibração de uma viga bi-engastada garantindo assim, o estudo da flexibilidade natural do sistema, sem ação de forças externas. Logo, este trabalho teve como objetivo realizar a modelagem matemática e computacional de uma viga bi- engastada.

1. Objetivo

Tivemos que analisar o modelo da Figura 1, viga bi-engastada ,com o objetivo de acharmos as freqüências e os módulos de vibração para podermos fazer uma comparação com o resultado exibido pelo livro Vibrações Mecânicas do Rao.

Utilizamos o método matemático aprendido durante as aulas de vibrações em apoio do software Scilab para trabalharmos as matrizes e suas diversas operações. Foram geradas as Matrizes de Massa [M], Constante Elástica [K], Frequência [W] e Modos de Vibração/Posição [X].

[pic 1]

Figura 1 – Viga bi-engastada

1. Metodologia

Primeiramente, tivemos que supor que a barra era composta por massas e molas, as massas representando a densidade da barra e as molas a elasticidade do material, como mostra a figura 2.

No primeiro caso utilizamos 2 massas e 3 molas onde podemos encontrar de forma simples, sem a ajuda do software, as freqüências e os módulos.

[pic 2]

Figura 2 – Sistema massa mola com 2 graus de liberdade

 O sistema massa mola com dois graus de liberdade foi obtido a partir da energia cinética do sistema, associada ao movimento das massas, e o potencial elástico, associado à energia elástica armazenada nas molas quando o sistema oscila. Resolvendo a Equação de Lagrange para um sistema conservativo, determinou-se as equações do movimento escritas na notação matricial como segue:

[pic 3]

onde: [M] é a matriz de inércia e [ K ] é a matriz de rigidez.

As frequências naturais de oscilação ω1 e ω2 foram obtidas através da equação característica e apresentaram dependência de K e M (respectivamente, constante elástica e massa) como era esperado. Como o sistema não é amortecido nem forçado, os modos normais de vibração são caracterizados exclusivamente pelo tipo estrutura da viga. Isso leva a um problema de autovalor e auto vetor possibilitando o desacoplamento das equações de movimento que descrevem o comportamento dinâmico do sistema .

Posteriormente seguimos um processo fracionando a massa total da viga em mais partes, sendo que a partir de 4 elementos faz se necessário o uso do software, porém o processo de resolução é similar ao anterior.

1. Discussão e Resultados

Os gráficos exibidos a seguir apresentam as disposições encontras dos auto valores e auto vetores da matriz de frequência anteriormente mencionada, os valores encontrados abaixo estão relacionados com as propriedades do aço, uma área de seção transversal de viga de 0.1 metros e um comprimento de 2 metros

Primeiramente plotamos o primeiromodo de vibração da viga para 5 graus de liberdade, usando n= 3,5,10,15,50 no primeiro modo de vibração.

[pic 4]n=3

[pic 5]

n=5

[pic 6]

n=10

[pic 7]

n=15

[pic 8]

n=50

É possível ver que quanto mais fracionamos a viga maior precisão o gráfico possui, em vista que ele se aproxima da realidade.