Análises das deflexões de vigas biapoiadas e em balanço

1. Introdução

        Foi proposto para a turma do terceiro período de engenharia civil da Unievangélica, na disciplina de Cálculo III, realizar um trabalho que envolvesse algum tema da engenharia civil, que o cálculo III tivesse participação. Logo, foi escolhido um tema que envolve grande parte da engenharia civil e um conteúdo de cálculo muito interessante.

        Foi escolhido o seguinte tema: Equações Diferenciais Aplicadas na Deflexão de Vigas Biapoiadas e em Balanço. Com isso precisamos estudar alguns conceitos e definições de equações diferenciais, resistência dos materiais e vigas.

        As vigas compõem grande maioria dos tipos de edificações, porque elas participam da estrutura das construções, desde a base, janelas, lajes e em telhados. Tornando-se assim uma área de estudo de suma importância para o ramo da Engenharia Civil.

        Outro fator importante são os tipos de materiais que existem, os que são mais utilizados, e os que podem surgir a partir de novos estudos sobre as vigas, seus componentes, aplicações e fatores afins.

1. Equações Diferenciais

1. Conceituações

Em matemática, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função que aparece na equação sob a forma das respectivas derivadas. Dada uma variável x, função de uma variável y, a equação diferencial envolve x, y, derivadas de y e eventualmente também derivadas de x, geralmente, uma equação diferencial é uma equação cuja incógnita é uma função e cuja equação envolve derivadas dessa função procurada.

As equações diferenciais são expressões matemáticas de certas leis envolvidas em uma modelagem, que podem, por exemplo, ser leis fundamentais, como a segunda lei de Newton, empíricas, como em reações químicas, ou heurísticas, como em dinâmica populacional.

As equações diferenciais são usadas para construir modelos matemáticos de fenômenos físicos tais como na dinâmica de fluídos e em mecânica celeste. Deste modo, o estudo de equações diferenciais é um campo extenso na matemática pura e na matemática aplicada.

Estão presentes em diversos modelos em física, química, biologia, economia, engenharia, dentre outros. Vários fenômenos envolvem a variação de uma quantidade em relação à outra, levando naturalmente a modelos baseados em equações diferenciais.

Podemos ter variações temporais de, por exemplo, a posição de um objeto, a temperatura de um material, a concentração de um agente químico, a concentração de um poluente ou nutriente em um meio, a umidade do ar, o numero de habitantes de uma cidade, a densidade de bactérias de uma cultura, a densidade de massa de um gás, o valor de uma mercadoria, o cambio entre moedas, o produto interno bruto de um país, dentre vários outros. Além de variações temporais dessas quantidades, podemos ter variações em relação a outras quantidades, como variação de temperatura em relação à posição e variação de densidade de massa de um fluido em relação à temperatura, por exemplo.

As equações diferenciais têm inúmeras aplicações praticas em medicina, engenharia, química, biologia, e outras diversas áreas do conhecimento. As soluções destas equações são usadas, por exemplo, para projetar pontes, automóveis, aviões e circuitos elétricos.

As Equações Diferenciais constituem um tópico vastíssimo na matemática que pode ser abordado de maneiras diversas, dependendo do objetivo proposto. Em nosso caso específico trataremos as equações diferenciais como modelos formulados para descrever situações reais e, neste sentido, vamos nos preocupar com técnicas de resoluções sem abrir mão do processo de modelagem. Desta forma, veremos as Equações Diferenciais sob o ponto de vista da ”Matemática Aplicada”, embora tal termo seja por si só motivo de polêmica entre matemáticos. Caberia aqui a frase de J. B. Keller: ”A Matemática Aplicada é uma ciência que inclui a matemática pura como uma de suas divisões”.

Dizer que a matemática está incluída na matemática aplicada pode ser uma afirmação muito forte e incorreta no momento, entretanto a história tem mostrado que a matemática de valor sempre tem chance de ser aplicada. Com relação a este aspecto, é interessante citar um texto de J. Von Neumann: “Eu penso que seria uma aproximação relativamente boa da verdade (que é demasiada complexa para permitir qualquer coisa melhor que uma aproximação) dizer que as ideias matemáticas têm a sua origem em situações empíricas. Mas, uma vez concebidas, elas adquirem uma identidade e crescimento próprios governados quase que inteiramente por motivações estéticas. Entretanto, quando uma disciplina matemática distancia-se de sua fonte empírica, existe um grave perigo de que ela se desenvolva em linhas de menor resistência e que a sua corrente principal, distante da fonte original, se ramifique em uma miríade de subdivisões insignificantes, tornando a disciplina em uma massa desorganizada de detalhes e complexidades”.

Dentro da matemática Aplicada as Equações Diferenciais têm um papel relevante na ligação e interação com outras ciências, desde sua origem em problemas ligados a física e recentemente como ferramenta indispensável à biologia com todas suas ramificações, compartilhando amplamente com alguns ramos da química, engenharia e economia.

Assim, acreditamos que os primeiros passos para a modelagem de fenômenos reais, seriam bastante trôpegos se fosse descartada uma iniciação às Equações Diferenciais e optamos por considerar a ”matemática Aplicada” não exatamente como uma ciência, mas como uma atitude no estudo da matemática dentro do contexto científico em que ela se desenvolve.

 A matemática Aplicada não deve ser considerada como uma disciplina estanque e descomprometida ela é um instrumento intelectual poderoso que, através da abstração e formalização, sintetiza ideias as quais, embora semelhantes, surgem em situações as mais diversas e por isto mesmo camufladas na sua essência. O objetivo da matemática é, então, extrair esta essência e formalizá-la em um contexto abstrato, o modelo onde ela possa ser trabalhada intelectualmente, desenvolvida e absorvida com uma extraordinária economia de pensamento.