Apostila Erros Calculo Numerico

DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

MÉTODOS NUMÉRICOS

1. ERRO

1.1 EXISTÊNCIA

A noção de erro está presente em todos os campos do Cálculo Numérico.

Os dados, em si, não são exatos;

As operações sobre valores não exatos propagam esses erros a seus resultados.

Os métodos numéricos buscam resultados o mais próximo possível do que seriam os valores exatos.

1.1.1 NOÇÕES FUNDAMENTAIS:

I. Toda medida é um intervalo e não um número exato, decorrente do:

Do processo de medição;

Do erro do medidor;

Da incerteza do valor.

Exemplo:

Um medida de comprimento de 45,7cm é possivelmente, (45,70,1)cm, isto é, algo no intervalo 45,6cm a 45,8cm.

II. Quando se opera com um valor, carrega-se sua incerteza para o resultado das operações. Chama-se a esse processo, propagação de erro.

III. Os métodos numéricos, freqüentemente iterativos, se propõem a obter resultados aproximados, diminuindo o erro a cada iteração, num processo de aproximação sucessiva.

IV. O computador ao representar números reais com um número finito de dígitos, será forçado a aproximá-los quando os números reais exigirem mais dígitos.

Exemplo:

Ao representarmos o número exato .

1.1.2 ALGUMAS OBSERVAÇÕES:

Quando se representa um valor tem-se (m  ); para  > 0 e  << m, para uma medida bem feita. Assim, o valor m é expressivo diante de .

A medida 23.537m  2m, significa que o valor está entre 23.535m e 23.539m. Essa medida teria sido feita com boa precisão; embora com certa margem de erro, como sempre.

Porém, um comprimento de 10m  5m, logo sabe muito pouco sobre o valor, que poderia variar desde 5m até 15m. Essa medida não tem boa precisão.

Chama-se desvio absoluto, ou erro absoluto, ao valor de ;

Chama-se desvio relativo, ou erro relativo, à relação

onde, abs(m) é o valor absoluto de m.

1.2 PROPAGAÇÃO

Vamos aos exemplos:

Dados a = 50  3 e b = 21  1, calcular a soma (a + b), a subtração (a – b) e o produto (a x b).

a pode variar de 47 a 53 e b de 20 a 22.

Assim o menor valor da soma seria 47 + 20 = 67 e o maior valor seria 53 + 22 = 75.

(a + b) = (50 + 21 )  4 = 71  4, variando de 67 a 75.

Menor valor da subtração seria 47 - 22 = 25 e o maior valor da subtração seria

53 - 20 = 33.

(a – b) = (50 – 21)  4 = 29  4, variando de 25 a 33.

Na subtração, os erros absolutos se somam, pois sempre se admite o pior caso; nunca se subtraem erros, contando com a sorte; prevê-se, sempre, o caso mais desfavorável.

Menor valor do produto seria 47 x 20 = 940.

e o maior valor do produto seria 53 x 22 = 1166.

(a x b) = (50 3) x (21  1)  1050  (3 x 21 + 50 x 1) (a x b)  1050  113.

Despreza-se o produto 3 x 1, por ser muito pequeno diante de

(3 x 21 + 50 x 1 ) = 113.

Assim, o produto ficaria entre 937 e 1163, ligeiramente diferente do verdadeiro intervalo, exatamente pelo abandono do produto 1x3, considerado desprezível,

Quando efetuamos operações sobre números sujeitos a erros, esses se propagam aos resultados das operações, que vão refletir a incerteza dos números que compõem a operação. Assim:

(a  ea) + (b  eb) = a + b  (ea + eb)

(a  ea) - (b  eb) = a - b  (ea + eb)

(a  ea) x (b  eb)  a x b  (a.eb + b.ea)

Estamos admitindo a, b, ea , eb sempre positivos.

Se negativos tomaremos (– a ), (– b ) etc.

Analisando os erros relativos dessas operações.

Erro relativo da soma  Esoma

Erro relativo da subtração  Esub

Erro relativo do produto  Eprod

Erro relativo de a  Ea

Erro relativo de b  Eb

Erro Relativo da Soma:

Soma: esoma = ea + eb

Multiplicando e dividindo o primeiro termo por a e o segundo termo por b, temos:

Assim, o erro relativo da soma