As Hipóteses e Objetivos

[pic 1]

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO Universidade Federal de Itajubá - Campus Itabira Rua Irmã Ivone Drummond, 200, Distrito Industrial II Itabira - MG - 35903-087

Instituto de Ciências Tecnológicas Engenharia de Computação e Elétrica ECAi26 - Linguagens de Programação Prof. Matheus Henrique Marcolino

Nome: Celomar Oliveira Da Silva Filho                                                     RA: 2020016941 Nome: Matheus De Freitas Andrade                                                                RA: 2018010486                                                               

Projeto RTE I

 

1.1   PARTE 1: CONVOLUÇÃO               

 

Seja o sistema descrito pela equação diferencial:

,[pic 2]

 

com condição inicial  antes do impulso ser aplicado.[pic 3]

(a)        Determine a resposta ao impulso para o sistema.

(b)        A resposta do sistema para uma entrada geral é dada pela convolução entre este sinal e a resposta ao impulso. Esta afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique matematicamente.

(c)        Realize uma simulação computacional através da resposta ao impulso em um sistema prático (sistema elétrico, mecânico, dentre outros).

 

1.2 PARTE 2: TRANSFORMADA DE LAPLACE, TRANSFORMADA DE FOURIER E TRANSFORMADA Z

                

(a)    Defina a Transformada de Laplace e sua inversa.

A Transformada de Laplace foi proposta pela primeira vez por Laplace em 1980. É normalmente utilizada para simplificar equações diferenciais em problemas simples de álgebra. Este é o operador que transforma o sinal no domínio do tempo em um sinal num domínio de frequência complexa chamado domínio ‘S’. A variável de frequência complexa será denotada por ‘s’.

A frequência complexa S pode ser definida como , onde  é a parte real de s e  é a parte imaginária de s. Os números complexos são definidos pelos matemáticos e são abstrações matemáticas úteis para a análise de sinais e sistemas. [pic 4][pic 5][pic 6]

        A Transformada de Laplace não tem qualquer significado físico, a não ser que transforma o sinal do domínio do tempo em um domínio complexo de frequências. É útil para os simples cálculos matemáticos e pode ser utilizado para a análise fácil de sinais e sistemas. A estabilidade do sistema é revelada diretamente quando a função de transferência do sistema é conhecida no domínio de Laplace.

         Para um sinal , a transformada de Laplace  é definida por [pic 7][pic 8]

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        O sinal  é dito ser a transformada inversa  de Laplace de . Pode ser mostrado que [pic 10][pic 11]

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onde  é uma constante escolhida para garantir a convergência da integral.[pic 13]

(b) Realize sua aplicação em um sistema físico e faça uma análise completa deste sistema, utilizando a ferramenta.

 

(c)    Defina a Transformada de Fourier e sua inversa.

        A transformação de Fourier é uma função matemática que toma como entrada um padrão baseado no tempo e determina a compensação global do ciclo, a velocidade de rotação e a força para cada ciclo possível no padrão dado. A transformada de Fourier é aplicada a formas de onda que são basicamente uma função do tempo, espaço ou alguma outra variável. A transformada de Fourier decompõe uma forma de onda em sinusoidal, proporcionando assim outra forma de representar uma forma de onda.

        A transformada de Fourier de uma função  é dado por:[pic 14]

[pic 15]

onde  pode ser obtido usando a transformada inversa de Fourier. [pic 16]

(c.1) Explique as condições de Dirichlet e apresente um exemplo.

“O sinal deve ser absolutamente integrável”.

(c.2) Explique o Teorema de Parseval e apresente um exemplo de aplicação.

(d) Realize sua aplicação em um sistema físico e faça uma análise completa deste sistema, utilizando a ferramenta.

(e) Qual a conexão entre as Transformadas de Fourier e Laplace?

        A transformada de Laplace avaliada em  é igual à transformada de Fourier se a sua região de convergência (ROC) contiver o eixo imaginário. Isto é válido também para a transformada bilateral de Laplace. [pic 17]

        Quanto às partes reais e imaginárias, uma vez que  for uma variável complexa, tanto a transformada de Laplace como a de Fourier possuem geralmente partes reais e imaginárias. Considere-se como exemplo simples a função , com a > 0, onde  é a função de degrau, mais conhecido como função de Heaviside. A transformada de Laplace é [pic 18][pic 19][pic 20]