Atps Equações Diferenciais Etapas1 E 2

ATPS- Equações Diferenciais

Etapa 1

Passo 1

Pesquisar e estudar sobre a modelagem de sistemas por meio de equações diferenciais em sistemas físicos e problemas de engenharia.

Sites sugeridos para pesquisa

• Equações Diferenciais Ordinárias e Aplicações. Disponível em: <

https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3TXE2c2xhNXJvVk0/edit?usp=sh

aring >. Acesso em: 29 maio 2013.

• Aplicação das Equações Diferenciais. Disponível em: <

https://docs.google.com/file/d/0B9a4HNta2XG3Y3RWTGdERUwyYVE/edit?usp

=sharing >. Acesso em: 29 maio 2013.

A modelagem matemática via equações diferenciais tem um enorme destaque e vem sendo utilizada para modelar fenômenos desde o século XVII por Malthus e Verhulst,no final do anos 1700.Pode-se destacar que o modelo matemático é desenvolvido para simular a realidade usando a linguagem matemática.

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais é, normalmente, feita da seguinte forma: através de simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

Então, tal modelo matemático será também composto por parâmetros (constantes), que são intrínsecas ao sistema a ser estudado;variáveis que afetam o sistema, porem o modelo não foi designado para estudar seu comportamento (variáveis independentes) e as variáveis as quais o modelo foi designado para estudar (variáveis dependentes).

Quando o sistema em questão busca retratar um fenômeno que consiste na interação entre duas ou mais entidades, então a modelagem é feita através de um sistema de equações diferenciais.

Os modelos matemáticos apresentam uma serie de aspectos uteis ao ponto de vista cientifico. Alem de apresentar naturalmente uma linguagem concisa, que pode vir a facilitar sua manipulação, um modelo matemático traz também aspectos como a possibilidade de confirmar ou rejeitar determinadas hipóteses relacionadas a complexos sistemas, revelar contradições em daods obtidos e(ou) hipóteses formuladas, prever o comportamento de um sistema sob condições não testadas ou ainda não testáveis, dentre outras.

Passo 2

Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre as técnicas de integração de funções de uma variável. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

Os métodos ou técnicas de integração são muito importantes para a resolução de integrais que aparentemente não possuem uma primitiva elementar. As técnicas mais usuais são a da substituição, por partes.

Método de substituição: O método consiste em transformar uma integral não imediata em uma integral imediata realizando uma substituição de variáveis.

Exemplo:

I=∫cos5x*dx → 5x=z → 5dx = dz

I=∫cosz* dz/5 → I=1/5 ∫cosz*dz

I=1/5*senz+C → I= 1/5*sen x/5 + C

Método de integração por partes:O método consiste em transformar a integral não imediata em um produto de funções conhecidas de onde subtraímos uma integral imediata.

Consideremos duas funções f (x) e g (x). Vamos derivar o produto das funções.

[f(x)*g(x)}’ = f’(x) * g (x) + f(x) * g’(x)> f(x) *g’(x) = [f(x) * g(x)]’ – f’(x) * g(x)

Integrando ambos os membros da igualdade teremos :

∫f(x)*g’(x)*dx = f(x)*g(x) - ∫f’(x)*g(x)*dx

Fazendo f(x) = u

g’(x) dx= dv

∫u*dv = u*v-∫v*du

Passo 3

Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem. Utilizar como bibliografia o Livro-Texto da disciplina (identificado ao final da ATPS).

Uma equação é designada de variáveis separáveis, se puder ser escrita na forma:

dy/dx = (f(x))/( g(y))

Para resolvermos este tipo de equação primeiro observemos que a primitiva da função g(y) pode ser calculada da seguinte forma

∫g(y) dy/dx = ∫g(y(x)) dy/dx dx

A equação diferencial pode ser escrita como:

g(y) dy/dx = f(x)

e a primitiva em ordem a x do lado esquerdo é igual a primitiva em ordem a y de g(y) como acabamos de ver.

Equações diferenciais lineares de 1ª ordem:

Chama-se equação diferencial linear de 1ª ordem a uma equação da forma

y'+P(x)y =Q(x) onde P e Q são funções contínuas de x num certo domínio D C IR.

É usual designar por equação completa aquela em que Q(x) ≠ 0enquanto que a equação se chama homogênea, se Q(x)= 0

A resolução destas equações pode enquadrar-se da seguinte forma:

Se Q(x)= 0, a equação é de variáveis separáveis.

Se Q(x)≠0,a equação admite um fator integrante função só de x, I(x, y)= e ∫P(x) dx

Como resolver uma Equação diferencial linear de 1ª ordem:

Determinar o fator integrante I (x, y) = e ∫P(x) dx

Multiplicar a equação diferencial por este fator integrante,isto é e∫P(x) dx (y’+P(x)y)= e∫P(x) dxQ(x)