Aula De Calculo Numerico

Etapa 4: Passo 2

1. Desafio A

Dada a matriz

2 1 3 0

A= 2 2 5 1

2 1 4 0

1 1 3,5 2,5

Sobre a decomposição LU pode se afirmar que?

1 0 0 1 2 1 3 0

L= 2 1 0 1 U= 0 1 2 1

1 0 1 0 0 0 1 0

0,5 0,5 1 1 0 0 0 2

L21= A21/U11 L21= 2/2 L21= 1

L31= A31/U11 L31= 2/2 L31= 1

L41= A41/U11 L41= ½ L41= 0,5

U22= A22-L21U12 U22= 2-1x1 U22= 1

U23= A23-L21U13 U23= 5-1x3 U23= 2

U24= A24-L21U14 U24= 1-1x0 U24= 1

L32= A32-L31U12/U22 L32= 1-1x1/1 L32= 0

L42= A42-L41xU12/U22 L42= 1-0,5x1/1 L42= 0,5

U33= A33-L32U23-L31U12 U33= 4-0x2-1x3 U33= 1

U34= A34-L32U24-L31U14 U34= 0-0x1-1x0 U34= 0

L43= A43-L43U23-L41U13/U33 L43= 3,5-0,5x2-0,5x3/1 L43= 1

U44= A44-L43U34-L42U24-L41U14 U44= 2,5-1x0-0,4x1-0,4x0 U44= 2

Solução

1 0 0 0 2 1 3 0

L= 2 1 0 0 U= 0 1 2 1

1 0 1 0 0 0 1 0

0,5 0,5 1 1 0 0 0 2

Desafio B:

Considerar os sistemas:

Sistema A Sistema B

4x1-x2+x3= 8 x1+x2+x4= 2

2x1+5x2+2x3= 3 x1+x2-x3+x4= 1

x1+2x2+4x3= 11 -x1+x2+3x3-x4= 4

3x1-x2-x3+3x4= -3

Resolvendo o sistema A utilizando a eliminação de Gauss

4 -1 1 8

A= 2 5 2 = 3

1 2 4 11

A21/A11=2/4 A21= 2-4x2/4 A21= 0

A22= 5-(-1)x2/4 A22= 5,5

A23= 2-1x2/4 A23= 1,5

B2= 3-8x2/4 B2= -1

A31/A11=1/4 A31= 1-4x1/4 A31= 0

A32= 2-(-1)x1/4 A32= 2,25

A33= 4-1x1/4 A33= 3,75

B3= 11-8x1/4 B3= 36/4 B3=9

4 -1 1 8

A= 0 5,5 1,5 = -1

0 2,25 3,75 9

A32/A22=2,25/5,5 A32= 2,25-5,5x2,25/5,5 A32= 0

A33= 3,75-1,5x2,25/5,5 A33= 3,14

B3= 9-(-1)x2,25/5,5 B3= 9,41

4 -1 1 8

A= 0 5,5 1,5 = -1

0 0 3,14 9,41

4x1 - x2 + x3= 8

5,5x2 + 1,5x3= -1

3,15x3= 9,41

3,14x1= 9,41 x1= 9,41/3,14 x1= 2,99 x1= 3

5,5x2 + 1,5x3= -1 5,5x2 + 1,5x3= -1 5,5x2 + 4,5= -1 5,5x2= -1-4,5 5,5x2= 5,5 x2= -5,5/5,5 x2= - 1

4x1 - x2 + x3= 8 4x1 - (-1) + 1 x 3= 8 4x1 + 1 + 3= 8 4x1 + 4= 8 4x1= 8 - 4 4x1= 4 x1= 4/4 x1= 1

Portanto a resolução do sistema A utilizando o método de eliminação de Gauss e:

x1 = 1 x2 = -1 x3 = 3

Resolvendo o sistema B utilizando a eliminação de Gauss

2 1 0 1 2

A= 2 1 -1 1 = 1

-1 1 3 -1 4

3 -1 -1 3 -3

A21/A11= 2/1 A21= 2-1x2/1 A21= 0

A22= 1-1x2/1 A22= -1

A23= 1-0x2/1 A23= 1

A24= 1-1x2/1 A24= -1

B2= 1-2x2/1 B2= -3

A31/A11= (-1) A31= 1-1x(-1)/1 A31= 0

A32= 1-1x(-1)/1 A32= 2

A33= 3-0x(-1)/1 A33= 3

A34= -1-1x(-1)/1 A34= 0

B3= 4-2x(-1)/1 B3= 6

A41/A11= 3/1 A41= 3-1x3/1 A41= 0

A42= -1-1x3/1 A42= -4

A43= -1-0x3/1 A43= -1

A44= 3-1x3/1 A44= 0

B4= -3-2x3/1 B4= -9

1 1 0 0 2