Balaceamento

Balanceamento

Depois de calcular esforços dinâmicos, de perceber que apresentam valores proporcionais ao quadrado das velocidades angulares, cabe uma pergunta: “como eliminá-los”. Afinal os esforços dinâmicos não criam apenas deformações e fadiga no eixo e mancais, produzem vibrações que transformam o sistema desbalanceado em fonte de vibrações que atingem todos outros sistemas próximos.

Para responder tal pergunta se faz necessário estabelecer que a grande maioria dos dispositivos que giram, e que são de interesse na engenharia, possuem eixo fixo. A suposição de que se pode eliminar os esforços dinâmicos de um sólido, em relação a qualquer eixo que se possa imaginar, é falsa, apenas uma esfera homogênea tem tal característica. Também não é possível eliminar os esforços dinâmicos nos casos em que o efeito giroscópico estiver presente, por exemplo, nos casos em que o eixo de rotação é forçado a mudar de direção.

De posse dos teoremas TCM – Teorema do Centro de Massa e TMA – Teorema do Momento Angular, e analisando casos em que o sólido apresente eixo fixo, pode-se determinar as condições para eliminar os esforços dinâmicos através da redistribuição de massa do sólido.

Condições do Balanceamento

Considere-se a ilustração anexa, nela está representado um sólido qualquer que apresenta um eixo vertical fixo, ao qual está ligado o sistema de eixos A(x , y , z) . Note-se que o eixo Ay coincide com o “eixo geométrico” de rotação, que o vetor velocidade angular do sólido descrito por ω⃗=ωy⋅^j , que o vetor aceleração angular é descrito por α⃗=αy⋅^j e por não interferir nos esforços dinâmicos de um sólido balanceado, será adotado NULO.[pic 1]

A aceleração angular resulta de momentos axiais, ou seja, criam possíveis torções no eixo físico de rotação mas não esforços nos mancais. Diante disso, adota-se velocidade angular constante e aceleração angular nula.

A eliminação dos esforços de origem dinâmica pode ser obtida com:

TCM - Teorema do Centro de Massa:

 ∑ F⃗ext .=m⋅⃗aCM => ∑ F⃗ext .=zero => ⃗aCM=zero

Conclusão: o Centro de Massa do sólido deve pertencer ao eixo “geométrico de rotação”.

TMA – Teorema do Momento Angular:

∑ M⃗ CM=H⃗˙ CM ou ∑ M⃗ O=H⃗˙ O...⃗vO=0 e O∈sólido O Momento Angular:

H⃗ O[pic 2][pic 3] k^

A derivada do momento angular:

H⃗˙ O[pic 4]^i

Impondo o TMA:

[pic 5]^i

Nota: neste formato fica evidente que os esforços dinâmicos são proporcionais ao quadrado da velocidade angular.

Eliminando os esforços dinâmicos ….

[pic 6]zero > Ixy=I yz=zero

Conclusão: os produtos de inércia que envolvem o eixo de rotação, no caso o eixo Ay, devem ser nulos.

Resumindo, as condições do balanceamento são:

1. o Centro de Massa do sólido “balanceado” deve pertencer ao eixo “geométrico de rotação”.
2. [pic 7]os produtos de inércia do sólido “balanceado”, que envolvem o eixo de rotação, devem ser nulos.

Caso especial: Balanceamento Estático.

Considere-se sólido assemelhado a um disco, ou seja, a sua espessura pode ser desconsiderada.

Nesse caso, a “segunda condição” do balanceamento fica automaticamente respeitada:

Ixy=∫x⋅y⋅dm=∫ x⋅zero⋅dm=zero

I yz=∫z⋅y⋅dm=∫ z⋅zero⋅dm=zero

Desta forma basta adicionar (ou retirar) massa do sólido (disco) de forma que o centro de massa do sistema “disco + massa corretora”, passe a ter centro de massa coincidente com o eixo geométrico de rotação.

Considere-se que:

1. o eixo (y) do sistema A(x,y,z) “ligado” ao sólido, esteja na direção do eixo fixo de rotação;
2. que a massa do sólido a ser balanceado estaticamente seja “ms “;
3. que o Centro de Massa do mesmo esteja definido por: CMCMs (xCMs        ; yCMs        ; zsCM) ;
4. que a massa corretora seja “mc” e ocupe o ponto P do sólido, definido por P(x , y , z) .

A primeira condição do balanceamento impõe que o centro de massa do sistema pertença ao eixo geométrico de rotação, ou seja:

xsistCM.[pic 8]zero

zsistCM.[pic 9]zero

Balanceamento Dinâmico.

Neste tipo de caso, o centro de massa não pertence ao eixo geométrico de rotação e os produtos de inércia relacionados com o eixo de rotação (Ixy,I xz) não são nulos.