Cálculo numeroco

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

NÚCLEO DE TECNOLOGIA

CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Projeto 2 – Raiz de função real

RELATÓRIO SUBMETIDO À UFPE COMO

ATIVIDADE DA DISCIPLINA DE CÁLCULO NUMÉRICO

POR

ABRÃAO ALVES VILA NOVA

JOSÉ AILTON DA SILVA MACENA JÚNIOR

Prof. Alessandro Romário Antunes Echevarria

CARUARU, Outubro/2014.

INTRODUÇÃO

        Encontra raízes de funções reais é importante para varias áreas da matemática e suas aplicações, como encontrar a taxa de variação máxima de um juros aplicado ou a resultante de uma força aplicada sobre uma determinada estrutura, porem nem sempre é fácil calcular analiticamente as raízes de uma equação, deste modo recorremos a ajuda de computadores para nos auxiliar na nossa busca.

        

DESENVOLVIMENTO

1 – Bisseção

%função que retorna a raiz de uma função em um dado intervalo

function x = bissecao(f,x0,x1,error)

 

x = x0;

if(f(x0)*f(x1))<0 %condição inicial do método

    while abs(f(x)) > error %loop

       

        x = (x0 + x1)/2; %busca binaria, metade do intervalo

       

        if f(x)*f(x0)>0 %caso o limite inferior mantenha o sinal

            x0 = x;

        elseif f(x1)*f(x)>0 %caso limite superior mantenha o sinal

            x1 = x;

        end

 

    end

else

   

    x = 'N use esse metodo' ; %caso

end

 

end

%função principal , acha as raizes usando o metodo da bisseção

function Main()

 

fprintf('Informe a função : '); %mensagem para o usuario

fun = input('','s'); %Armazenando o valor da variavel

 

f = inline(fun);

xi = -10:10; %intervalo do gráfico

plot(xi,f(xi)); %plotando o gráfico para o usuario

 

fprintf('Informe o x0 : ');

x0 = input(''); %limite inferior do intervalo

fprintf('Informe o x1 : ');

x1 = input(''); %limite superior do intervalo

fprintf('Informe o error : ');

error = input(''); %erro aceitável

 

raiz = bissecao(f,x0,x1,error); %achando a raiz

 

fprintf('A raiz presente nesse intervalo eh : %f ',raiz); %informando ao usuario

 

end

2 - Método de Newton-Raphson

%Método de Newton-Raphson

 

syms x

fun = x^2 - 2; %Função de entrada

x1 = 4 ; %ponto inicial

error = 0.001; %error

 

dfun = diff(fun); %derivada da função;

f = inline(fun);

df = inline(dfun);

 

 

while abs(f(x1)) > error %loop

   

    x1 = x1-(f(x1)/df(x1)); %indo para o proximo ponto

   

end

 

fprintf('%f \n',x1);

3 - Método do ponto fixo(interação)

%Método do ponto fixo

format('long','g')

syms x

fun = x^3 - x - 1;%função;

ifun = (x + 1)^(1/3); %função de interação;

error = 0.0001; %erro aceitável

x1 = 1 ; %ponto inicial

 

 

f = inline(fun);

iF = inline(ifun);

 

x0 = x1;

 

while abs(f(x1)) >= error   %loop

    x1 = iF(x0); %interação

    x0 = x1;

end

 

fprintf('%f \n',x0); %resultado

RESULTADOS

Tabela 1 – Método da bisseção

Função	X0	X1	Error	Raiz
x^3 – 2	-2	2	0.0001	1.259918
x^3 -9x +3	2	3	0.0001	2.816910
x^5 -4x + 5	-2	-1	0.000001	-1.630436
x.^2 – 2	-2	2	0.001	Não encontrada
2cos(x)	0	3	0.0005	1.5708
cos(x) + sin(x)	0	4	0.005	2.3594
sin(x) + cos(x) – x^3 - 4	-6	4	0.000001	-1.7261