Calculo Numerico

Definição : Calculo Numerico e uma metodologia de resolucao construtiva de modelos matematicos,obtendo-se solucoesnumericas aproximadas via operacoesbasicas.

- ou: “Analise Numerica e o estudo de algoritmos para os problemas da Matematica Continua”

Pertence ao dominio da Matematica Computacional (ou Computacao Cientifica)

Seja f uma função real. Qualquer r para o qual f(r) = 0 é uma raiz ou um zero de f.

Exemplo:

1. f (x) = 6x²- 7x + 2 Assimraízes: ½ e 2/3

2. g(x) = cos(3x) - cos(7x) assim as raízes: x=0 ou qualquer múltiplo inteiro de π/5 ou de π/2.

•Frequentemente, a solução de um problema científico é um n° , sobre o qual a única informação deque dispomos é que ele satisfaz alguma equação.

Mas qualquer equação pode ser escrita na forma: f(x) =0.

Logo, o no desejado é uma raiz desta função.

Definição: Raiz de uma equação f(x)=0 é todo número r ϵ C tal que f(r) =0.

•Em alguns casos, a raiz pode ser explicitada: 7x -2 =0 assim x =2/7

Mas na maioria das vezes isto será impossível.

Exemplos:

•Veremos métodos gerais para a obtenção das raízes:

Método da Bisseção

Método de Newton

MÉTODO DA BISSEÇÃO

Determinação de raízes pelo método da bissecção

O Metodo da bisseccao consiste em:

1. Determinar o intervalo onde ha raizes;

2. Para cada intervalo [a, b], verificar se f(a)*f(b) <0;

3. Caso afirmativo, supor que f(a) < 0 (logicamente, entao, f(b) >0); calcula-se c = (a + b)/2 e verifiquese f(c) e maior ou menor que zero;

4. Se f(c) <0, entao a raiz estara no intervalo [c, b]; se f(c) > 0, entao a raiz estara no intervalo [a, c];

5. Supor que a raiz esteja no intervalo [a, c]; divide-se o intervalo em 2 novamente com e = (a + c)/2 etesta-se f(e) e verifique se e maior ou menor que zero, a raiz estara sempre entre um valor positivo eum negativo da funcao.

6. Repete-se sucessivamente ate que a diferenca entre dois valores de x seja menor que o valor preestabelecidode erro.

Figura 1: Diagrama explicativo do metodo da bisseccao.

Exemplo 16: Determinar pelo metodo da bisseccao a raiz positiva da funcaof(x) = x2 -3. Considere que as raízes estão no intervalo [0,6; 2,7]

Resposta:

Se houverem raizes positivas, elas estarao no intervalo [0,6; 2,7]. Testa-se a funcao nos pontosextremos e no valor medio (0,6 + 2,7)/2 = 1,65, ou seja

f(0,6) = -2,64

f(1,65) = -0,2775

f(2,7) = 4,29

a raiz estaraentao no intervalo [1,65; 2,7] pois as funcoes nestes pontos tem sinais opostos, ou seja f

(1,65)f(2,7) < 0. Testa-se entao o valor medio entre os extremos

(1,65 + 2,7)/2 = 2,18

f(1,65) = -0,2775

f(2,18) = 1,752

f(2,7) = 4,29

e a raiz estara no intervalo [1,65; 2,18], pois f(1,65)*f(2,18) <0, e assim sucessivamente.

Convenciona-se aqui erro inferido (Δx) como o modulo da diferenca entre um valor calculado de

x e o seu valor calculado na iteracao anterior. Assim, Δx3 = |x3- x2| .

Veja a tabela abaixo

Determinar a raiz da funcaof(x) = sen(x) usando o metodo da bisseccao, com um erromenor que 0,5%.

A funcao seno tem varias raizes, pois sen(x) = 0 sempre que x = nπ, com n inteiro. A título de exemplo,tomemos o intervalo [3; 4] e observe a tabela a seguir.

Determinação de raízes pelo método de Newton

E um metodo iterativo onde a relacao de recorrencia e dada por

indica a derivada de f(x) com relacao a x.

Interpretação geométrica.

Na figura acima, a tangente de f(x) no ponto x = xn e dada por f(x)/(xn - xn+1). A tangente da funcaof(x)no ponto xn e a propria derivada f'(xn), dai, isolando xn+1,

da tangente de f(x) no ponto x=xn+1 obtem-se xn+2, e assim sucessivamente, se aproximando do valor onde f(x) = 0. Observar que quando f(x) = 0, xn+1 = xn .

Determinar, pelo metodo de Newton-Raphson, a raiz da funcaof(x) = ln(x)+x, com um erro menor que 0,5%. Obs.: Iniciar com x0 = 1.

f(x) = ln(x) + x e f'(x) = 1/x + 1, entao, neste caso,

Exemplo:

Suponha que desejamos encontrar uma aproximação da raiz quadrada de 3. Isto é, queremos x = √3.

Mas: x = ⇒x2 = 3 ⇒x2 – 3 = 0

Admitindo f(x) = x2 – 3, queremos calcular x tal que f(x) = 0.

Mas f´(x) = 2x.

Correção exercício: Método de Newton:

f(x)=2x-sen x +4o zero está [-3;-2]

Cálculo de x_1

x_0=-3;