Calculo Numerico

3.3.2 MÉTODO DA ITERAÇÃO LINEAR (MIL)

Seja f(x) uma função contínua em [a , b], intervalo que contém uma raiz da equação f(x)=0.

O MIL consiste em transformar a equação f(x) = 0 em uma equação equivalente x = (x), através de um artifício algébrico, e a partir de uma aproximação inicial x0 gerar a seqüência {xk} de aproximações para r pela relação:

xk+1 = (xk)

Por outro lado, a função (x) é tal que f(r) = 0, se e somente se (r) = r.

Uma função (x) que satisfaz a condição acima é chamada de função de iteração para a equação f(x) = 0.

Convergência do MIL

Antes de aplicar o MIL é necessário verificar se a função de iteração (x) conduzirá a um processo convergente.

Teorema–2

Seja r uma raiz da equação f(x) = 0 que pertence ao intervalo I e (x) contínua e diferenciável em I.

Se | ’(x) |  k < 1 para todo os pontos em I e x0  I, então os valores dados pela equação xk+1 = (xk) convergem para r.

Escolha da Função de Iteração

A partir de uma função f(x) pode-se obter varias funções de iteração (x), porém nem todas poderão ser utilizadas para avaliar r.

OBS: Só se deve usar uma (x) que satisfaça ao Teorema–2

Exemplo:

Avaliar a raiz de f(x)=x2+e3x-3=0, com 10-3.

Fazendo-se um esboço gráfico da função observa-se que existe raiz real nos intervalos: [-2 , -1] e [ 0 , 1].

Gráfico da função f(x)

f(x)=x2 + e3.x - 3

Dividindo a função f(x) em duas funções mais simples (g(x) e h(x)), temos o seguinte gráfico:

g(x) = e3.x h(x) = 3 – x2

1) Somando x aos dois membros:

x=x+x2+e3x-3  (x) = x+x2+e3x-3

2) Somando -x2 aos dois membros e extraindo a raiz quadrada:

-x2= -x2+x2+e3x-3  x2=3-e3x  x =

(x) =

3) Somando -e3x aos dois membros e calculando ln:

-e3x = -e3x+x2+e3x-3  e3x= - x2 + 3

ln e3x= ln(3 - x 2)

3x=ln(3 - x 2)  (x)= ln(3 - x 2)

ALGORITMO

Método da Iteração Linear (MIL)

Supor que as hipóteses do Teorama-2 estão satisfeitas.

1) Dados iniciais:

a) x0 :aproximação inicial

b)  precisão.