Digitalização

Passo 1

Faça a leitura do capítulo 2 – seções 2.3 e 2.4 do PLT e demonstre o que representa a taxa de variação média de f e a taxa de variação instantânea de f, dê exemplos.

Sabemos que as grandezas variam. Em nosso dia a dia, pensamos muitas vezes na variação de grandezas, como, por exemplo, o tempo gasto para chegar à Universidade, o quanto engordamos ou emagrecemos no último mês, a variação da temperatura num dia específico, e assim por diante.

De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou seja, y=f(x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma variação de y, desde que y não seja uma função constante.

Se y=f(x)=x2, e, a partir de x0, supomos uma variação ∆x - ou seja, x varia de x0 até x0+∆x - podemos calcular a correspondente variação de y, que denominamos ∆y.

O quociente [pic]é denominado razão média das variações ou taxa de variação média e normalmente depende do particular ponto X0 e da variação ∆x considerada.

A taxa de variação pontual de f no ponto x0 é denominada simplesmente taxa de variação de f no ponto X0. No caso da variável independente ser o tempo, a taxa de variação é denominada instantânea.

Quando se trata de taxa de variação média de uma função f num determinado intervalo, a palavra "média" é imprescindível.

Dada y=f(x) para calcularmos a taxa de variação pontual de f no ponto x0, se consideramos o acréscimo ∆x>0, fazemos ∆x se aproximar de 0 por valores positivos e escrevemos [pic]Se consideramos ∆x-1. De facto a identidade é trivialmente verdadeira para n=1. Suponhamos que também é verdadeira para n. Temos, se x>-1:

(1+x)n+1=(1+x)n(1+x)≥(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx2≥1+(n+1)x

como pretendia mostrar. A desigualdade (1+x)n≥1+nx é conhecida por desigualdade de Bernoulli. Daqui também retiramos, se h>-x,

(x+h)n=xn(1+h/x)n≥xn+nhxn-1

Por outro lado, é verdade que (1+x)(1-x)=1-x2≤1. Se -1