Fabiocara

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• DERIVADA

O conceito derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e que a medida dessa variação se faz necessária em um determinado momento. Para entendermos como isso se dá, inicialmente vejamos a definição matemática da derivada de uma função em um ponto:

• DEFINIÇÃO: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo Xo, denotada por f’(Xo), é dada por:

f’(Xo) = lim f ( Xo + ∆x ) – f ( Xo )

∆x→0 ∆x

Se esse limite existir, ∆x representa uma pequena variação em X, próximo de Xo, ou seja, tomando x = Xo + ∆x ( ∆x = x – Xo ), a derivada de f em Xo pode também ser expressa por:

f’ (Xo) = lim f ( x ) – f ( Xo )

x→Xo x – Xo

• INTERPRETAÇÃO FÍSICA: a derivada de uma função f em um ponto Xo fornece taxa de variação instantânea de f em Xo. Vejamos como isso ocorre:

Suponha que y seja uma função de x, ou seja, y = f (x). Se x variar de um valor Xo até um valor X1, representaremos essa variação de x, que também é incremento de x, por ∆x = X1 – Xo, e a variação de y é dada por ∆y = f (X1) – f (Xo), o que é ilustrado na figura a seguir:

Y

f (X1) – ....................................................

∆y

f (Xo) – ................._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

∆x

Xo X1 X

O quociente das diferenças, dado por ∆y = f (X1) – f (Xo), é dito da taxa de

∆x X1 – Xo

variação média de y em relação à x, no intervalo [ Xo, X1]. O limite destas taxas médias de variação, quando ∆x→0, é chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x, em x = Xo. Assim, temos:

Taxa de variação instantânea = lim f ( X1) – f ( Xo