Gbbh

Uberaba

2014

1. RESUMO

Será abordado no trabalho a seguir os temas Álgebra Vetorial e Vetores. Através de um trabalho-resumo, esses dois temas principais serão explicados e analisados de forma clara e objetiva, sem aprofundamento na linguagem algébrica precisamente dizendo. Como base do trabalho, será utilizado a apostila do Centro de Educação Tecnológica da Bahia, CEFET-BA escrita em 2007, elaborado pelos autores Eron e Isabel através de um conjunto bibliográfico de outras obras. Também será utilizado outras fontes de pesquisa como anotações de aula e sites relacionados ao tema trabalhado. Por meio de ilustrações, os temas serão analisados de forma não só algébrica mas também espacial.

Palavras-chave: Vetor. Álgebra vetorial. Geometria Analítica.

2. Introdução

Os temas a seguir analisados serão soma, subtração, produto, divisão, produto escalar por um vetor, definição de vetor, vetor unitário e sistema de coordenadas cartesianas. O tema de vetores é bastante rico em matéria e extenso o que torna o objetivo do trabalho apenas a análises de alguns pontos mais importantes da teoria. Dentro da Álgebra Vetorial propriamente dita (soma, subtração, produto, divisão, produto escalar por um vetor) será feita uma abordagem nas propriedades vetoriais e as diferentes formas com que esses pontos levantados podem ser realizados e ilustrados. Na análise de Vetor (definição de vetor, vetor unitário e sistema de coordenadas cartesianas) será feita uma abordagem nos pontos principais utilizando teorias já existentes e ilustrações simples para ser feita uma visualização completa de cada tema.

3. Desenvolvimento

3.1. Definição de vetores

A ideia de vetor surgiu no início do século XIX para serem representantes dos números complexos. Surgiu da necessidade de representação dos números complexos, que não encontraram na matemática existente, uma boa forma de serem representados (os números complexos se tratavam de pares ordenados[a,b]). Um problema encontrado foi que não existia ainda uma álgebra vetorial criada para, necessariamente, trabalhar com a ideia criada de vetor. Isso começou a mudar quando o cavaleiro e cientista William Rowan Hamilton publicou o seu trabalho sobre quatérnios que foi o início e a aproximação inicial de uma álgebra vetorial e uma definição de vetor propriamente dita. De uma maneira mais aplicada no ensino médio e superior, o site educação uol dá uma boa definição de vetor que podemos entender como sendo um grupo de segmentos de retas orientados que trazem consigo três características importantes: são de mesmo intensidade, direção e sentido.

Ao se analisar e trabalhar com grandezas vetoriais, conseguimos perceber de forma mais clara e precisa a aplicação da definição de vetor comparados com grandezas escalares. Uma grandeza vetorial(utilizando a definição acima para entender) é uma grandeza que possui módulo direção e sentido já a escalar possui apenas um valor numérico, intensidade ou tamanho. Exemplificando as duas para uma compreensão mais fácil temos como grandezas vetoriais o Peso, Força, Aceleração, Velocidade entre várias outras. Já as escalares temos o Tempo, Massa, Comprimento entre outras também. Analisando os dois tipos de grandezas, percebemos que as vetoriais são mais bem definidas, precisam de mais informações sobre o seu comportamento para serem entendidas e aplicadas. As escalares por sua vez não precisam de tanto rigor físico para serem compreendidas e classificadas, entendidas. Por exemplo: quando dizemos que temos 100cm de comprimento, esse valor não precisa ser analisado quanto a sua direção e sentido pois 100cm são bem definidos e entendidos apenas ao serem anunciados com a sua unidade de medida. Já o peso por exemplo, quando falamos em 90N precisamos compreender melhor toda a estrutura da construção desse valor. 90N para cima ou para baixo? Na vertical ou horizontal? Um trabalho negativo ou positivo? Por isso os vetores possuem todas essas propriedades(intensidade, direção e sentido)

3.2. Vetores Unitários

Uma definição importante também é a de vetor unitário. Como o próprio nome já diz, nós podemos deduzir que se trata de um vetor que vale 1. Porém essa dedução é feita de forma coloquial sem uma análise matemática mais precisa. Não podemos dizer que simplesmente “vale 1” como é usualmente feito. Então, dizemos que o vetor unitário é um vetor que possui a sua norma( norma pode ser entendida como o módulo do vetor, seu valor ou comprimento) igual a 1. É importante deixar claro que quando trabalhamos com vetores nós trabalhamos muitas vezes com um representante seu. Como já dito acima, vetor é um GRUPO de segmentos de retas e não apenas um segmento como nós imaginamos, porém qualquer representante de um vetor tem as mesmas características e propriedades. Quando analisamos um representante seu e definimos seu valor( por exemplo, no caso dos vetores unitários sendo 1) estamos definindo e analisando todos os representantes do vetor. Sendo assim, temos a notação de vetor unitário como sendo:

3.3. Componentes de vetores

Suponhamos um vetor . Ao analisarmos esse vetor em R2, podemos decompô-lo no plano cartesiano em e . Esses são os componentes do vetor que agora é expresso em dois outros vetores, um em 0x e outro em 0y e temos que a soma desses dois componentes geram o vetor inicial( ). A figura abaixo ilustra bem a ideia teórica desenvolvida acima.

Quando analisamos esses componentes nós podemos calculá-los da seguinte maneira: . Temos essa mesma ideia para R3 , agora peguemos o vetor e o decompomos em outros três:

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