HISTÓRIA DO SURGIMENTO DAS INTEGRAIS

1. INTRODUÇÃO

Este trabalho tem por finalidade atender as necessidades de aprendizagem e conhecimento na prática e na teoria de integrais definidas e indefinidas, integração por substituição, integração por partes e cálculo da área.

        

2 - ETAPA 01

2.1 - PASSO 01 - HISTÓRIA DO SURGIMENTO DAS INTEGRAIS  

É difícil situar com exatidão, historicamente, a origem do cálculo Diferencial e Integral. Algumas antigas questões fizeram surgir ideias que tiveram um importante papel no seu desenvolvimento, tais como os problemas de quadratura, um antigo termo que se tornou sinônimo do processo de determinar áreas, e também problemas como a delimitação de terrenos destinados ao plantio nas margens dos rios, e o cálculo do volume de um silo. As primeiras questões de quadratura foram estudadas por Hipócrates de Chios, 440 a.C., que realizou as primeiras quadraturas da História. Antifon, por volta de 430 a.C., procurou encontrar a quadratura do círculo através de uma sequência infinita de polígonos regulares inscritos: primeiro um quadrado, depois um octógono, em seguida um hexadecágono, e assim por diante. Essa foi uma ideia genial que deu origem ao método da exaustão. A ideia básica do conceito de integral já estava embutida no método de exaustão atribuído a Eudoxo( 406-355 a.C.), desenvolvido e aperfeiçoado por Arquimedes (287-212 a.C.).

       O Cálculo Diferencial e Integral foi criado por Isaac Newton que via o Cálculo como geométrico (1642-1727) e Wilhelm Leibniz que o via mais como analítico. (1646-1716). O trabalho destes cientistas foi uma sistematização de ideias e métodos surgidos principalmente ao longo dos séculos XVI e XVII, os primórdios da chamada era da Ciência Moderna, que teve início com a Teoria heliocêntrica de Copérnico (1473-1543).         O que permitiu a passagem do método de exaustão para o conceito de integral foi a percepção que em certos casos, a área da região pode ser calculada sempre com o mesmo tipo de aproximação por retângulos.

Esta foi uma descoberta conceitual importante, mas na prática , a descoberta fundamental foi a possibilidade de exprimir a integral de uma função em termos de uma primitiva da função dada e este fato é conhecido pelo nome de Teorema Fundamental do Cálculo. A ideia ou o conceito de integral foi formulado por Newton e Leibniz no século XVII, mas a primeira tentativa de uma conceituação precisa foi feita por volta de 1820, pelo Matemático Francês thaugustin Louis Cauchy (1789-1857). Os estudos de Cauchy foram incompletos, mas muito importantes por terem dado início à investigação sobre os fundamentos do Cálculo Integral, levando ao desenvolvimento da Análise Matemática e da teoria das funções.

2.2 - PASSO 02 - DESAFIO A

Qual das alternativas abaixo representa a integral indefinida de: ?[pic 1]

1. F(a) = [pic 2]
2. F(a) =  ln [pic 3][pic 4]
3. F(a) =  ln [pic 5][pic 6]
4. F(a) =  ln [pic 7][pic 8]
5. F(a) =  ln [pic 9][pic 10]

2.3 - PASSO 02 - DESAFIO B

Suponha que o processo de perfuração de um poço de petróleo tenha um custo fixo de U$10.000,00 e um custo marginal de C’(q) = 1000 + 50q dólares por pé, onde q é a profundidade em pés. Sabendo que C(0) = 10.000, a alternativa que expressa C(q), o custo total para se perfurar q pés, é:

1. C(q) = 10.000 + 1.000 q + 25 q2
2. C(q) = 10.000 + 25 q + 1.000 q2
3. C(q) = 10.000 + 1.000 q + 25 q2
4. C(q) = 10.000 + 25 q2
5. C(q) = 10.000 q+ q2 + q3

2.4 - PASSO 02 - DESAFIO C

        No início dos anos 90, a taxa de consumo mundial de petróleo cresceu exponencialmente. Seja C(t) a taxa de consumo de petróleo no instante t, onde t é o número de anos contados a partir do início de 1990. Um modelo aproximado para                        C(t) = 16,1. e0,07t. Qual das alternativas responde corretamente a quantidade de petróleo consumida entre 1992 e 1994?

1. 56,43 bilhões de barris de petróleo
2. 48,78 bilhões de barris de petróleo
3. 39,76 bilhões de barris de petróleo
4. 26,54 bilhões de barris de petróleo
5. Nenhuma das alternativas

2.5 - PASSO 02 - DESAFIO D

        A área sob a curva y =  de x = -3 e x = 2, é dada por:[pic 11]

1. 4,99
2. 3,22
3. 6,88
4. 1,11
5. 2,22

                                                             

2.6 - PASSO 03

Para o desafio A:

Resposta correta: alternativa b = número 3

Para o desafio B:

Resposta correta: alternativa a = número 0

Para o desafio C:

Resposta correta: alternativa c = número 1

Para o desafio B:

Resposta correta: alternativa a = número 9

De acordo com os desafios propostos A, B, C e D, a sequência numérica achada foi 3019.

3 - ETAPA 02 

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