Lei De Gauss

LEI DE GAUSS

Objetivo:

Analisar a Lei de Gauss e suas principais aplicações.

Introdução

A Lei de Gauss

A lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico resultante Φ de um campo elétrico, através de uma superfície fechada, com a carga resultante que é envolvida por essa superfície. Em outras palavras, a lei de Gauss relaciona os campos elétricos em pontos sobre uma superfície gaussiana (fechada) com a carga resultante envolta por essa superfície.

Matematicamente, a lei de Gauss é representada pela equação:

Onde:

ε0 = constante de permissividade elétrica no vácuo

Φ = fluxo elétrico resultante

q = carga elétrica envolvida

Na equação, “q” é a soma algébrica de todas as cargas envolvidas, sendo elas positivas ou negativas. É importante salientar que o sinal diz algo a respeito do fluxo resultante. Se q for maior do que zero, o fluxo resultante é para fora; se q for menor do que zero, o fluxo resultante é para dentro.

Fig. 1 - Fluxo de campo elétrico resultante

Uma carga fora da superfície gaussiana, não importa o seu tamanho ou sua proximidade, não é incluída no termo q da lei de Gauss. Também não importa a forma ou a localização exata das cargas dentro da superfície gaussiana, importa apenas o sinal da carga resultante envolvida.

O campo elétrico, em razão de uma carga fora da superfície gaussiana, não contribui com nenhum fluxo resultante através da superfície, pois a quantidade de linhas de campo, em virtude dessa carga que entra na superfície, é a mesma que sai dela.

Podemos dizer que a lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb, pois podemos deduzir a lei de Coulomb através da lei de Gauss.

Essa equação é exatamente a equação do campo elétrico, deduzida através da equação de Gauss.

A lei de Gauss é válida para qualquer situação, com campo uniforme, ou não, e para qualquer tipo de superfície fechada, também denominada superfície Gaussiana. Todavia, para ser operacionalmente útil ela deve ser usada apenas em determinadas circunstâncias. Uma circunstância favorável ocorre quando a superfície Gaussiana é tal que o produto escalar entre o campo e o vetor superfície é facilmente obtido Isso é sempre possível quando a distribuição de cargas apresenta alta simetria. Existem três tipos de simetrias que facilitam o uso da lei de Gauss:

 Simetria planar;

 Simetria cilíndrica ou axial;

 Simetria esférica.

A simetria planar aplica-se no caso de uma distribuição de cargas num plano infinito, ou no caso em que se possa fazer a aproximação de plano infinito. Por exemplo, um plano finito pode ser considerado infinito, se o campo elétrico for calculado num ponto muito próximo do plano. Isto é, se a distância do plano ao ponto for muito menor do que as dimensões do plano.

A simetria cilíndrica, ou axial, aplica-se no caso de uma distribuição linear infinita. Existem dois casos clássicos:

 Linha infinita de cargas;

 Cargas distribuídas num cilindro infinito.

De modo análogo ao caso anterior, um cilindro finito pode ser considerado infinito em determinadas circunstâncias.

Existem dois casos típicos de simetria esférica:

 Carga puntiforme;

 Distribuição esférica de cargas.

Aplicações da Lei de Gauss

Podemos utilizar a Lei de Gauss para calcular o campo elétrico produzido por distribuições contínuas de carga, quando as mesmas exibirem algum tipo de simetria espacial.

1º Caso: Simetria Cilíndrica

Campo elétrico de uma barra não-condutora infinitamente longa e uniformemente carregada:

 Superfície gaussiana S é um cilindro de raio r e altura h.

Considerações de simetria:

(i) O campo elétrico tem direção radial, ou seja, é perpendicular a todos os pontos da lateral da gaussiana cilíndrica;

(ii) O campo elétrico tem o mesmo módulo em todos os pontos da lateral da gaussiana.

Usando a consideração (i), campo E tem direção radial:

 Base 1: como E é perpendicular a dA, θ = 90o, cos 90o = 0, E . dA = 0

 Base 2: novamente E é perpendicular a dA, θ = 90o, cos 90o = 0, E . dA = 0

 Lateral: como E é paralelo a dA, θ = 0o, cos 0o = 1, E . dA = E dA

Usando a consideração (ii) E é constante ao longo da lateral:

Pois a área da superfície lateral do cilindro (retângulo) é o comprimento da base (2πr) multiplicado pela altura h.

Carga envolvida pela gaussiana: como a barra está uniformemente carregada, a parte dentro da gaussiana cilíndrica tem comprimento h. Densidade linear de carga λ = q/h.

O campo elétrico gerado pela barra cai com o inverso da distância (não é uniforme!). As linhas de força têm direções radiais a partir da barra. Se a carga da barra é positiva as linhas apontam para fora da barra, caso contrário (carga negativa) apontam para dentro.

2º Caso: Simetria Plana

Campo Elétrico de uma Plano Infinito de Cargas: placa plana fina e infinitamente extensa, com uma carga distribuída uniformemente sobre sua superfície.