O Método da Bissecção

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE TUCURUÍ – CAMTUC

FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA

CÁLCULO NÚMERICO

Atividade sobre Método da Raiz

Prof. Dr. Bruno Wallacy

Discente: Gilson Ricardo Tavares Silva

QUESTÃO 01. Encontrar as possíveis raízes da função  [pic 2]

Solução

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O programa ou Script acima nos ajudou a localizar os intervalos onde poderia esta as possíveis raízes da função.

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Escrevendo a função  em outras duas funções, como por exemplo  e , temos que;[pic 5][pic 6][pic 7]

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Conforme a observação do gráfico abaixo, é possível perceber dois pontos a serem analisados para a função  Assim;[pic 9]

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Gráfico 01. Ilustração do gráfico da função em estudo

Primeiro Caso

Desse modo, iremos considerar nesse primeiro momento certos valores para  quando  assume os valores no intervalo .[pic 11][pic 12][pic 13]

[pic 14]	[pic 15]	[pic 16]	[pic 17]	[pic 18]	[pic 19]	[pic 20]	[pic 21]
[pic 22]	[pic 23]	[pic 24]	[pic 25]	[pic 26]	[pic 27]	[pic 28]	[pic 29]

 

Fazendo o produto entre , isto é, [pic 30]

[pic 31]

Então, a primeira parte do Teorema é válida. Agora vamos derivar . Assim[pic 32]

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Assim, calculando os valores  que é onde ocorreu a mudança de sinal, isto é, os valores em  deixaram se ser negativos e se tornaram positivos em  Então, temos;[pic 35][pic 36][pic 37]

[pic 38]	[pic 39]	[pic 40]
[pic 41]	[pic 42]	[pic 43]

Como  não mudou de sinal no intervalo   então  é a única raiz no intervalo no intervalo .[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47]

Segundo Caso

Com base no gráfico acima, vamos considerar nesse segundo momento certos valores contidos em um intervalo .[pic 48]

[pic 49]	[pic 50]	[pic 51]	[pic 52]	[pic 53]	[pic 54]	[pic 55]	[pic 56]
[pic 57]	[pic 58]	[pic 59]	[pic 60]	[pic 61]	[pic 62]	[pic 63]	[pic 64]

 

Fazendo o produto entre , isto é, [pic 65]

[pic 66]

Então, a primeira parte do Teorema está satisfeita. Agora vamos derivar . Assim[pic 67]

[pic 68]

[pic 69]

Agora, calculando os valores  que é onde ocorreu a mudança de sinal, isto é, os valores em  deixaram ser positivos e se tornaram negativos em  Então, temos;[pic 70][pic 71][pic 72]

[pic 73]	[pic 74]	[pic 75]
[pic 76]	[pic 77]	[pic 78]